Question

Найдите множество решений неравенства: (4x - 1)(x - 7) < 0

Answer 1

(4x - 1)(x - 7) < 0
корни 1/4  и  7
-∞       1/4            7            +∞
       +           -             +
Ответ: х∈ (1/4;  7)

Answer 2

Чтобы найти множество решений данного неравенства, нужно разложить его на множители и определить знак каждого из них. Затем нужно определить интервалы значений переменной x, для которых неравенство выполняется.

Итак, разложим множество на множители:

(4x - 1)(x - 7) < 0

Чтобы найти значения x, при которых неравенство выполняется, рассмотрим каждый множитель отдельно:

1. (4x - 1) < 0
2. (x - 7) < 0

Решим каждое из уравнений:

1. (4x - 1) < 0

Добавим 1 к обеим сторонам:

4x < 1

Разделим обе стороны на 4 (заметим, что знак неравенства меняется, так как делим на положительное число):

x < 1/4

2. (x - 7) < 0

Добавим 7 к обеим сторонам:

x < 7

Теперь мы имеем два неравенства:

1. x < 1/4
2. x < 7

Теперь определим интервалы, для которых выполняется неравенство.

Когда оба множителя отрицательны (т.е., когда x < 1/4 и x < 7), произведение будет положительным. Однако неравенство задает условие, что произведение должно быть меньше нуля, поэтому нам интересны только те значения x, при которых только один из множителей отрицателен.

1. x < 1/4: В этом интервале все значения x меньше 1/4.

2. x < 7: В этом интервале все значения x меньше 7.

Таким образом, множество решений неравенства - это объединение интервалов:

(-∞, 1/4) U (1/4, 7)

То есть множество всех значений x, при которых (4x - 1)(x - 7) < 0, представлено интервалами от минус бесконечности до 1/4 и от 1/4 до 7.