Question

Y=sin(3x)+cos(2x)+4sin³(х) Надо найти наибольшее и наименьшее значение функции Спасибо

Answer 1

Наименьшее -3.93 и наибольшее 2.12

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции Y = sin(3x) + cos(2x) + 4sin³(x), следует выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найдите производную функции Y по переменной x. Шаг 2: Найдите критические точки, где производная равна нулю или не существует. Шаг 3: Используйте тест на вторую производную, чтобы определить, являются ли эти критические точки максимумами или минимумами. Шаг 4: Проверьте значения функции в критических точках и на концах интервала, если он ограничен.

Давайте начнем.

Шаг 1: Найдем производную функции Y по переменной x. dY/dx = d/dx (sin(3x) + cos(2x) + 4sin³(x)) dY/dx = 3cos(3x) - 2sin(2x) + 12sin²(x)cos(x)

Шаг 2: Найдем критические точки, где производная равна нулю. 3cos(3x) - 2sin(2x) + 12sin²(x)cos(x) = 0

Для упрощения уравнения, давайте заменим sin(2x) через 2sin(x)cos(x): 3cos(3x) - 4sin(x)cos(x) + 12sin²(x)cos(x) = 0

Давайте вынесем общий множитель 4sin(x)cos(x): 4sin(x)cos(x) (3cos(3x) - 1) = 0

Таким образом, получаем два случая:

1. sin(x) = 0 => x = 0, π, 2π, ... (нули синуса)
2. 3cos(3x) - 1 = 0 => cos(3x) = 1/3

Теперь решим уравнение cos(3x) = 1/3: 3x = arccos(1/3) x = arccos(1/3)/3 ≈ 0.7346

Шаг 3: Найдем вторую производную и определим тип критической точки.

d²Y/dx² = d/dx (3cos(3x) - 2sin(2x) + 12sin²(x)cos(x)) d²Y/dx² = -9sin(3x) - 4cos(2x) + 12cos²(x) - 12sin²(x)

Теперь, чтобы определить тип критической точки x = arccos(1/3)/3 ≈ 0.7346, подставим это значение во вторую производную: d²Y/dx² ≈ -9sin(3 * 0.7346) - 4cos(2 * 0.7346) + 12cos²(0.7346) - 12sin²(0.7346) d²Y/dx² ≈ -9 * (-0.3272) - 4 * (0.7536) + 12 * (0.5425) - 12 * (0.8419) d²Y/dx² ≈ 2.944

Так как вторая производная положительна (2.944 > 0), это указывает на минимум функции в точке x ≈ 0.7346.

Шаг 4: Найдем значения функции в критических точках и на концах интервала, если он ограничен.

a) При x = 0: Y(0) = sin(3 * 0) + cos(2 * 0) + 4sin³(0) = 0 + 1 + 0 = 1

b) При x = π: Y(π) = sin(3 * π) + cos(2 * π) + 4sin³(π) = 0 - 1 + 0 = -1

c) При x ≈ 0.7346: Y(0.7346) ≈ sin(3 * 0.7346) + cos(2 * 0.7346) + 4sin³(0.7346)

Вычислим это численно, используя калькулятор или программу:

Y(0.7346) ≈ 0.7117 + (-0.7536) + 4 * (0.5425) ≈ 0.7117 + (-0.7536) + 2.17 ≈ 1.1281

Таким образом, наибольшее значение функции составляет примерно 1.1281 (приближенно до четырех знаков после запятой) и достигается в точке x ≈ 0.7346, а наименьшее значение функции равно -1 и достигается в точке x = π.

Итак, наибольшее значение функции Y ≈ 1.1281, а наименьшее значение функции Y = -1.