Question

Для функции f(x)=cos3x найти (Δf(x0))/(Δx) . (-дельта эф от икс нулевого делить дельта икс)

Answer 1

$f(x) = cos3x \:\:\:\: f(x_0) = cos(3x_0) \:\:\:\: f(x_0+\Delta x) = cos(3(x_0+\Delta x)) \\ \\ \Delta f(x_0) = f(x_0+\Delta x) - f(x_0) = cos(3(x_0+\Delta x)) - cos(3x_0)$

Всё готово, чтобы вычислить $\frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x}$. Вычисляется с помощью предела, т.к. Δx→0:

$\frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{{\Delta x} \to \inft0} \frac{cos(3(x_0+\Delta x)) - cos(3x_0)}{\Delta x} = \\ \\ = -2\lim_{{\Delta x} \to \inft0} \frac{sin \frac{3(x_0+\Delta x) +3x_0}{2} *sin \frac{3(x_0+\Delta x)-3x_0}{2} }{\Delta x} = \\ \\ = -2\lim_{{\Delta x} \to \inft0} \frac{sin[3x_0+ \frac{3 \Delta x }{2}] *sin \frac{3\Delta x}{2} }{\Delta x} =$.
$= -2 \lim_{{\Delta x} \to \inft0} \frac{sin[3x_0+ \frac{3 \Delta x }{2}] }{\Delta x} *\lim_{{\Delta x} \to \inft0} \frac{sin \frac{3\Delta x}{2}}{\Delta x} = \\ \\ = -2sin(3x_0)*\lim_{{\Delta x} \to \inft0} \frac{ \frac{3}{2} sin \frac{3\Delta x}{2}}{ \frac{3}{2} \Delta x} = -2sin(3x_0)* \frac{3}{2} = -3sin(3x_0)$

Применили формулу разности косинусов. В первом пределе Δx→0, поэтому под синусом остаётся только аргумент. Второй предел является первым замечательным пределом. Чтобы им воспользоваться, аргумент умножили на 3/2, соответственно увеличили числитель.

Answer 2

Для нахождения выражения (Δf(x0))/(Δx) для функции f(x) = cos(3x), давайте вначале выразим это выражение через предел:

(Δf(x0))/(Δx) = lim(Δx→0) [f(x0 + Δx) - f(x0)] / Δx

Теперь подставим функцию f(x) = cos(3x) и вычислим разность f(x0 + Δx) - f(x0):

f(x0 + Δx) = cos(3 * (x0 + Δx)) = cos(3x0 + 3Δx)

f(x0) = cos(3x0)

Теперь разность:

f(x0 + Δx) - f(x0) = cos(3x0 + 3Δx) - cos(3x0)

Теперь используем тригонометрическую формулу для разности косинусов:

cos(A) - cos(B) = -2 * sin((A + B) / 2) * sin((A - B) / 2)

Применим эту формулу к нашему выражению:

f(x0 + Δx) - f(x0) = -2 * sin((3x0 + 3Δx + 3x0) / 2) * sin((3x0 + 3Δx - 3x0) / 2) = -2 * sin((6x0 + 3Δx) / 2) * sin(3Δx / 2) = -2 * sin(3x0 + (3/2)Δx) * sin((3/2)Δx)

Теперь подставим это в выражение для предела:

(Δf(x0))/(Δx) = lim(Δx→0) [-2 * sin(3x0 + (3/2)Δx) * sin((3/2)Δx)] / Δx

Теперь, когда Δx стремится к нулю, мы можем упростить это выражение:

(Δf(x0))/(Δx) = -2 * sin(3x0) * lim(Δx→0) [sin((3/2)Δx) / Δx]

И последний предел в этом выражении можно вычислить:

lim(Δx→0) [sin((3/2)Δx) / Δx] = (3/2) * lim(Δx→0) [sin((3/2)Δx) / ((3/2)Δx)] = (3/2)

Итак, окончательно:

(Δf(x0))/(Δx) = -2 * sin(3x0) * (3/2) = -3 * sin(3x0)