Question

Прямая y = 14x + 4 является касательной к графику функции y = x ^ 3-ax ^ 2 + bx + 3 в точке P (1; 18). Найдите значения параметров a и b.

Answer 1

Сведем задачу к решению системы уравнений.

Для первого уравнения пользуемся правилом: "Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания"

$f'(x)=3x^2-2ax+b$

$3-2a+b=14$
$b-2a=11$ - первое уравнение

Второе уравнение получим путем подстановки координат точки P в функцию.

$18=1-a+b+3$
$b-a=14$ - второе уравнение

Получили систему
$\left\{\begin{array}{I} b-2a=11 \\b-a=14 \end{array}}$
откуда
$a=3; \ b=17$

Ответ: a=3; b=17

Answer 2

Для того чтобы прямая y = 14x + 4 была касательной к графику функции y = x^3 - ax^2 + bx + 3 в точке P(1, 18), два условия должны быть выполнены:

1. Уравнения прямой и функции должны совпадать в точке P(1, 18).
2. Производные функции и прямой должны совпадать в этой точке.

Давайте начнем с первого условия:

1. Уравнения прямой и функции должны совпадать в точке P(1, 18):

Для прямой у нас есть уравнение y = 14x + 4. Подставим x = 1 и найдем y:

y = 14 * 1 + 4 = 18

Таким образом, уравнения прямой и функции совпадают в точке P(1, 18).

Теперь перейдем ко второму условию:

2. Производные функции и прямой должны совпадать в точке P(1, 18):

Найдем производную функции y = x^3 - ax^2 + bx + 3:

y' = 3x^2 - 2ax + b

Теперь найдем производную прямой y = 14x + 4:

y' = 14

Мы знаем, что эти производные должны совпадать в точке P(1, 18), поэтому приравняем их:

3(1)^2 - 2a(1) + b = 14

Упростим уравнение:

3 - 2a + b = 14

Теперь у нас есть система уравнений:

1. y = x^3 - ax^2 + bx + 3 (уравнение функции)
2. y = 14x + 4 (уравнение прямой)
3. 3 - 2a + b = 14 (условие производных)

Решим эту систему. Выразим b из третьего уравнения:

b = 14 + 2a - 3

b = 2a + 11

Теперь подставим значение b во второе уравнение:

18 = 14 * 1 + 4

18 = 18

Третье уравнение лишнее и не добавляет новой информации. Таким образом, у нас нет уравнений, чтобы найти значения параметров a и b.

Если бы у нас было еще одно условие или информация о точке касания, мы могли бы решить систему и найти значения a и b. Но в данном случае, существует неопределенность, и мы не можем точно определить значения параметров.