Question

Докажите неравенство: а)х^2+у^2+8 больше или равно 4(х+у); б)4х^2+10 меньше 12; ПОМОГИТЕ, ПОЖАЛУЙСТА!

Answer 1

X² + y² + 8 ≥ 4(x + y)
x² + y² + 8 - 4x - 4y ≥ 0
(x² - 4x + 4)+(y² - 4y + 4) ≥ 0
(x - 2)² + (y - 2)² ≥ 0
Каждая из скобок либо равна нулю либо > 0 . Значит их сумма будет или равна 0 или > 0. Что и требовалось доказать.

Задание б) по- моему неверно записано.

Answer 2

Давайте рассмотрим оба неравенства и докажем их:

а) Докажем неравенство: $x^2 + y^2 + 8 \geq 4(x + y)$

Доказательство: Разложим левую сторону на два квадрата:

$x^2 + y^2 + 8 = (x^2 + y^2 + 4x + 4y) + 4 \geq 4(x + y) + 4$,

где мы использовали неравенство о средних для двух квадратов:

$(a + b)^2 \geq 4ab$ для любых $a$ и $b$.

Теперь, чтобы доказать $4(x + y) + 4 \geq 4(x + y)$, достаточно вычесть $4(x + y)$ из обеих сторон:

$4(x + y) + 4 - 4(x + y) \geq 4(x + y) - 4(x + y)$,

$4 \geq 0$.

Таким образом, мы показали, что $x^2 + y^2 + 8 \geq 4(x + y)$ для всех значений $x$ и $y$.

б) Докажем неравенство: $4x^2 + 10 < 12$

Доказательство: Вычтем 10 из обеих сторон неравенства:

$4x^2 < 12 - 10$,

$4x^2 < 2$.

Теперь, чтобы избавиться от коэффициента 4 перед $x^2$, разделим обе стороны на 4:

$x^2 < \frac{1}{2}$.

Таким образом, мы доказали, что $4x^2 + 10 < 12$ для всех значений $x$.

Итак, мы доказали оба неравенства:

а) $x^2 + y^2 + 8 \geq 4(x + y)$

б) $4x^2 + 10 < 12$