Question

Найдите первообразную функции f(x)=4x^3-4x+6, график которой проходит через точку A(1;5)

Answer 1

F(x) = ∫ (4x^3 - 4x + 6) dx = 4∫ x^3 dx - 4∫ x dx + 6∫ dx = 
= 4*x^4/4 - 4*x^2/2 + 6x + C = 
= x^4 - 2x^2 + 6x + C

y =  x^4 - 2x^2 + 6x + C  
5 = 1^4 - 2*1^2 + 6*1 + C
5 = 1 - 2 + 6 + C
C = 5 - 1 +2 - 6
C = 0

Получим
y =  x^4 - 2x^2 + 6x

Answer 2

Для нахождения первообразной функции $f(x)$, нам нужно найти антипроизводную $F(x)$, такую, что $F'(x) = f(x)$.

Мы можем использовать методы интегрирования для нахождения $F(x)$. Интегрирование - это обратная операция дифференцирования. Для данной функции $f(x) = 4x^3 - 4x + 6$, найдем первообразную $F(x)$:

$$F(x) = \int f(x) \, dx$$

$$F(x) = \int (4x^3 - 4x + 6) \, dx$$

Чтобы проинтегрировать это выражение, воспользуемся правилами интегрирования:

$$F(x) = \frac{4}{4} \cdot \int x^3 \, dx - \frac{4}{1} \cdot \int x \, dx + \int 6 \, dx$$

$$F(x) = x^4 - 4x^2 + 6x + C$$

где $C$ - это постоянная интегрирования.

Теперь нам нужно найти значение постоянной интегрирования $C$, используя условие, что график проходит через точку A(1, 5). Для этого подставим $x = 1$ и $F(1) = 5$:

$$F(1) = 1^4 - 4 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 + C = 1 - 4 + 6 + C = 3 + C = 5$$

Отсюда:

$$C = 5 - 3 = 2$$

Итак, окончательная первообразная функции $f(x) = 4x^3 - 4x + 6$, проходящей через точку A(1, 5), это:

$$F(x) = x^4 - 4x^2 + 6x + 2$$