Question

При каких значениях x числа 1, x^2, 6-x^2 , взятые в указанном порядке , образуют геометрическую прогрессию? Запишите эти числа.

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Для того чтобы числа 1, x^2 и 6-x^2 образовывали геометрическую прогрессию, каждое последующее число должно быть равно предыдущему, умноженному на одно и то же число (знаменатель прогрессии).

Пусть знаменатель прогрессии равен q.

Тогда:

1 * q = x^2 x^2 * q = 6 - x^2

Мы можем решить эти уравнения методом подстановки или решить их совместно.

Первое уравнение: 1 * q = x^2 q = x^2

Второе уравнение: x^2 * q = 6 - x^2 Подставляем значение q: x^2 * (x^2) = 6 - x^2 x^4 = 6 - x^2 x^4 + x^2 - 6 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение:

Пусть x^2 = t, тогда уравнение примет вид: t^2 + t - 6 = 0

Факторизуем уравнение: (t + 3)(t - 2) = 0

Таким образом, получаем два значения t: t1 = -3 и t2 = 2

Возвращаемся к x^2: x^2 = -3 или x^2 = 2

Так как значения x^2 не могут быть отрицательными (так как у нас есть x^2 в первом члене геометрической прогрессии), то рассматриваем только x^2 = 2.

Таким образом, x = ±√2.

Чтобы найти числа, подставим найденное значение x в исходную прогрессию:

1, (±√2)^2, 6 - (±√2)^2 1, 2, 6 - 2 = 4

или

1, (±√2)^2, 6 - (±√2)^2 1, 2, 6 - 2 = 4

Таким образом, получаем две геометрические прогрессии:

1, 2, 4 1, -2, 4