Question

Три различных числа x, y, z образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию, а числа x + y, y + z, z + x образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Найдите все возможные знаменатели геометрической прогрессии.

Answer 1

Выведем некие следствия  
$x;y;z\\ x+y \ y+z \ z+x$
Если первый образуют геометрическую прогрессию то справедливо равенство 
$\frac{y}{x}=\frac{z}{y}$
если вторые образуют арифметическую прогрессию, то 
$y+z-(x+y)=z+x-(y+z)\\ z-x=x-y\\ z+y=2x$
теперь преобразуем  
$z=2x-y\\ \frac{y}{x}=\frac{2x-y}{y}\\ \frac{y}{x}=\frac{2x}{y}-1\\ \frac{2x}{y}-\frac{y}{x}=1$
нам нужно найти соотношение y/x 
$\frac{y}{x}=a\\ \frac{x}{y}=\frac{1}{a}\\ \frac{2}{a}-a=1\\ 2-a^2=a\\ a^2+a-2=0\\ D=1+4*1*2=3^2\\ a_{1}=\frac{-1+3}{2}=1\\ a_{2}=\frac{-1-3}{2}=-2$
то есть их 2 , первое это выходит постоянная прогрессия , вторая убывающая