Question

Найдите первообразную для сложной функции a)f(x)=2/x^6+4x³-6x+8 F(x)=? б)f(x)=-3/cos²(2-6x)+11x-2 F(x)=?

Answer 1

А)
f(x) = 2/x^6 + 4x³ - 6x + 8 
F(x) = ∫(2/x^6 + 4x³ - 6x + 8 )dx = - 2/(5x^5) + x^4 - 3x^2 + 8x + C

б)
f(x) = - 3/cos²(2 - 6x) + 11x - 2
F(x) = ∫( - 3/cos²(2 - 6x) + 11x - 2)dx = 1/2*tg(2 - 6x) + 11x^2/2 - 2x + C

Answer 2

Для первообразной сложной функции нужно использовать метод замены переменной.

a) Найдем первообразную для функции f(x) = 2/x^6 + 4x³ - 6x + 8:

Для удобства заменим переменную: u = x^(-5). Тогда du/dx = -5x^(-6) = -5/u, и dx = -du/(5u^2).

Теперь заменим переменные в исходной функции: f(x) = 2/x^6 + 4x³ - 6x + 8 = 2u^5 + 4/u - 6/x + 8.

Теперь выразим f(x) через u и найдем его первообразную: F(u) = (2/6)u^6 + 4 * ln|u| - 6 * (-1/u) + 8u + C, F(u) = (u^6)/3 + 4 * ln|u| + 6/u + 8u + C.

Теперь заменим обратно u на x^(-5): F(x) = (x^(-5))^6/3 + 4 * ln|x^(-5)| + 6/(x^(-5)) + 8 * x^(-5) + C, F(x) = x^(-30)/3 + 4 * ln|x^(-5)| + 6x^5 + 8 * x^(-5) + C, F(x) = (1/3)x^(-30) + 4 * ln|x^(-5)| + 6x^5 + 8/x^5 + C.

b) Найдем первообразную для функции f(x) = -3/cos²(2-6x) + 11x - 2:

Для удобства заменим переменную: u = 2 - 6x. Тогда du/dx = -6, и dx = -du/6.

Теперь заменим переменные в исходной функции: f(x) = -3/cos²(2-6x) + 11x - 2 = -3/cos²(u) + 11x - 2.

Теперь выразим f(x) через u и найдем его первообразную: F(u) = -3 * tan(u) + 11 * (-u/6) - 2u + C, F(u) = -3 * tan(u) - 11u/6 - 2u + C, F(u) = -3 * tan(u) - (11/6 + 2)u + C, F(u) = -3 * tan(u) - (23/6)u + C.

Теперь заменим обратно u на 2 - 6x: F(x) = -3 * tan(2 - 6x) - (23/6)(2 - 6x) + C, F(x) = -3 * tan(2 - 6x) - (23/3) + 23x + C.