Question

Найдите f'(x0) : f(x) =(3x-5)^3+1/(3-x)^2 x0=2 Пожалуйста, если можете распишите подробнее нахождение производной выражения 1/(3-x)^2

Answer 1

Подробно (только о производной одного слагаемого)...
(1/(3-x)^2) ' = (3-x)^(-2)= {производная сложной функции}= -2 (3-x)^(-3)*(-1)= {где (-1)-это производная от (3-x)'}=2*(3-x)^(-3)...

Answer 2

Для того чтобы найти производную функции f(x) = (3x - 5)^3 + 1/(3 - x)^2, сначала разделим задачу на две части и найдем производные от каждого слагаемого отдельно, используя общие правила дифференцирования.

1. Найдем производную от (3x - 5)^3: Для этого воспользуемся правилом дифференцирования степенной функции: Если у нас есть функция g(x) = (u(x))^n, то её производная g'(x) вычисляется как произведение двух функций: g'(x) = n * (u(x))^(n-1) * u'(x). В нашем случае, u(x) = 3x - 5 и n = 3.

1.1 Найдем производную u'(x): u(x) = 3x - 5 Производная u'(x) = d(3x - 5)/dx = 3.

1.2 Теперь найдем производную (3x - 5)^3: (3x - 5)^3 = (u(x))^3, где u(x) = 3x - 5 и n = 3. Производная (3x - 5)^3 равна: (3x - 5)^3 = 3 * ((3x - 5)^2) * (3) = 3 * (9x^2 - 30x + 25).

2. Теперь найдем производную от 1/(3 - x)^2: Для этого используем обратное правило дифференцирования: Если у нас есть функция h(x) = 1/u(x), то её производная h'(x) вычисляется как произведение двух функций: h'(x) = -u'(x)/(u(x))^2. В нашем случае, u(x) = 3 - x.

2.1 Найдем производную u'(x): u(x) = 3 - x Производная u'(x) = d(3 - x)/dx = -1.

2.2 Теперь найдем производную 1/(3 - x)^2: 1/(3 - x)^2 = 1/(u(x))^2, где u(x) = 3 - x. Производная 1/(3 - x)^2 равна: 1/(3 - x)^2 = -1/((3 - x)^2).

Теперь у нас есть производные от каждого слагаемого: f'(x) = 3 * (9x^2 - 30x + 25) - 1/((3 - x)^2).

Чтобы найти значение производной в точке x0 = 2, подставим x = 2 в выражение для f'(x): f'(x0) = 3 * (9 * 2^2 - 30 * 2 + 25) - 1/((3 - 2)^2) f'(2) = 3 * (36 - 60 + 25) - 1/(1) f'(2) = 3 * 1 - 1 f'(2) = 3 - 1 f'(2) = 2.

Таким образом, f'(x0) = 2 при x0 = 2.