Question

Некоторое изделие выпускается двумя заводами. При этом объём продукции второго завода в полтора раза превосходит объём первого. Доля брака у первого завода 18%, а у второго- 8%. Изделия, выпущенные заводами за одинаковый промежуток времени, перемешали и пустили в продажу. Найти вероятность покупки бракованного изделия. Какова вероятность, что купленное бракованное изделие изготовлено на первом заводе?

Answer 1

Данная задача решается с помощью формулы полной вероятности и формулы Байеса.

Построим гипотезы:
H1 - изделие изготовлено на первом заводе.
H2 - изделие изготовлено на втором заводе.

Нам важно, чтобы изделие было бракованным, поэтому интересующий нас исход A - выбранное изделие браковано.

Т.к. по условию объём продукции на втором заводе в 1,5 раза превышает объём продукции на первом, то получаем следующее:
V2 = 1,5*V1
V = V1 + V2 = V1 + 1,5*V1 = 2,5V1

Мы нашли общий объём продукции, поэтому теперь легко можем найти P(H1) и P(H2) - вероятность того, что выбранное изделие изготовлено на первом заводе, и вероятность того, что оно изготовлено на втором заводе, соответственно:
P(H1) = V1 / 2,5*V1 = 0,4
P(H2) = 1 - 0,4 = 0,6 (т.к. других вариантов нет, то можно вычислять так, а не делить 1,5*V1 на 2,5*V1)

P(A|H1) - вероятность того, что выбранное изделие от первого поставщика имеет брак - нам дана, как и вероятность P(A|H2):
P(A|H1) = 0,18
P(A|H2) = 0,08

Тогда можно найти полную вероятность брака P(A) по формуле:
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) = 0,4*0,18 + 0,6*0,08 = 0,12

По формуле Байеса находим вероятность того, что бракованное изделие изготовлено на первом заводе:
P(H1|A) = P(H1)*P(A|H1)/P(A) = 0,4*0,18/0,12 = 0,006

Answer 2

Давайте разберемся с этой задачей.

Пусть:

• A1 - событие, что изделие изготовлено на первом заводе,
• A2 - событие, что изделие изготовлено на втором заводе,
• B - событие, что изделие является бракованным.

Из условия задачи известны следующие вероятности:

• P(A2) = 1.5 * P(A1) (объём продукции второго завода в полтора раза превосходит объём первого)
• P(B|A1) = 0.18 (доля брака у первого завода)
• P(B|A2) = 0.08 (доля брака у второго завода)

Также дано, что изделия, выпущенные заводами за одинаковый промежуток времени, перемешали и пустили в продажу.

Мы хотим найти вероятность покупки бракованного изделия P(B) и вероятность того, что купленное бракованное изделие изготовлено на первом заводе P(A1|B).

Для этого используем формулу условной вероятности: P(B) = P(A1) * P(B|A1) + P(A2) * P(B|A2)

Теперь подставим значения: P(B) = P(A1) * 0.18 + P(A2) * 0.08 P(B) = P(A1) * 0.18 + (1.5 * P(A1)) * 0.08 P(B) = 0.18 * P(A1) + 0.12 * P(A1) P(B) = 0.3 * P(A1)

Также, нам нужно найти вероятность P(A1|B) - то есть вероятность того, что изделие было изготовлено на первом заводе, при условии, что оно бракованное.

Для этого используем формулу Байеса: P(A1|B) = P(A1) * P(B|A1) / P(B)

Теперь, мы уже знаем P(B) из предыдущего расчета. Подставим значения: P(A1|B) = P(A1) * 0.18 / P(B) P(A1|B) = P(A1) * 0.18 / (0.3 * P(A1)) P(A1|B) = 0.18 / 0.3 P(A1|B) = 0.6

Таким образом, вероятность покупки бракованного изделия составляет 30%, а вероятность того, что купленное бракованное изделие изготовлено на первом заводе, составляет 60%.