Question

Решите неравенства: 1) | x - | < 3 2) | x - | * | | < 7

Answer 1

Решения даны на фото.

Answer 2

Давайте решим данные неравенства по очереди:

1. |x - | < 3

Для начала разберемся с выражением внутри модуля. Обозначим его за a:

a = x - |a|

Теперь введем два случая:

a) a ≥ 0:

Тогда |a| = a, и у нас получается:

x - a < 3

Теперь решим неравенство для a ≥ 0:

x < a + 3

б) a < 0:

Тогда |a| = -a, и у нас получается:

x + a < 3

Теперь решим неравенство для a < 0:

x < 3 - a

Объединим оба случая:

x < a + 3, a ≥ 0

x < 3 - a, a < 0

Теперь учтем, что а это выражение x - |x|, и получим итоговое решение:

x < (x - |x|) + 3, x ≥ 0

x < 3 - (x - |x|), x < 0

Теперь разберемся с знаком выражения x - |x|:

Если x ≥ 0, то x - |x| = x - x = 0

Если x < 0, то x - |x| = x - (-x) = 2x

Теперь подставим обратно:

1. x < (x - |x|) + 3, x ≥ 0

x < (0) + 3, x ≥ 0

x < 3, x ≥ 0

2. x < 3 - (x - |x|), x < 0

x < 3 - (2x), x < 0

x < 3 - 2x

2x + x < 3

3x < 3

x < 1

Итак, итоговые решения неравенства:

1. x < 3, x ≥ 0

2. x < 1, x < 0

Теперь перейдем ко второму неравенству:

2. |x - | | < 7

По аналогии с предыдущим неравенством, введем два случая:

а) x - ||x|| < 7:

1. Если x ≥ 0, то ||x|| = x, и у нас получается:

x - x < 7

0 < 7

Условие выполняется для всех неотрицательных x.

2. Если x < 0, то ||x|| = -x, и у нас получается:

x + x < 7

2x < 7

x < 7/2

Таким образом, решение для данного случая: x < 7/2

б) x - ||x|| > -7:

1. Если x ≥ 0, то ||x|| = x, и у нас получается:

x - x > -7

0 > -7

Условие выполняется для всех неотрицательных x.

2. Если x < 0, то ||x|| = -x, и у нас получается:

x + x > -7

2x > -7

x > -7/2

Таким образом, решение для данного случая: x > -7/2

Объединим оба случая:

x < 7/2, x > -7/2

Итоговое решение второго неравенства:

-7/2 < x < 7/2

Надеюсь, это поможет! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задать их.