Question

АЛГЕБРА 10 КЛАСС 30 БАЛЛОВ Найти точки экстремума функции f(x)=(x+3)^2(в квадрате)(x-5)^2( в квадрате)

Answer 1

Для того,чтобы найти точки экстремума, нужно найти производную функции и приравнять её к нулю: 
f'(x) = 2(x+3)*(x-5)^2 + 2(x+3)^2*(x-5) = 2*(x+3)(x-5)(x-5+x+3) = 2(x+3)(x-5)(2x-2)
Отсюда видим, что данное выражение будет равно нулю при х={-3; 1; 5}

Answer 2

Чтобы найти точки экстремума функции, сначала найдем её производную и приравняем её к нулю, чтобы найти критические точки. Затем проверим значения второй производной в критических точках, чтобы определить, являются ли эти точки экстремумами.

Итак, начнем с функции f(x): $f(x) = (x + 3)^2 \cdot (x - 5)^2$

1. Найдем производную функции f(x) по x:

Используем правило производной произведения функций (производная произведения равна произведению производных): $f'(x) = 2(x + 3)(x - 5) \cdot (x + 3) \cdot (x - 5) + (x + 3)^2 \cdot 2(x - 5)$

Упростим: $f'(x) = 2(x + 3)^2 \cdot (x - 5) + 2(x + 3) \cdot (x - 5)^2$

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $2(x + 3)^2 \cdot (x - 5) + 2(x + 3) \cdot (x - 5)^2 = 0$

3. Решим уравнение:

$2(x + 3) \cdot (x - 5) \cdot [(x + 3) + (x - 5)] = 0$ $2(x + 3) \cdot (x - 5) \cdot (2x - 2) = 0$ $2(x + 3) \cdot (x - 5) \cdot 2(x - 1) = 0$

Таким образом, получаем три критические точки: x = -3, x = 5 и x = 1.

4. Определим тип экстремума в этих точках, анализируя значения второй производной:

Возьмем вторую производную функции f(x) для определения вида экстремума в каждой критической точке:

$f''(x) = 2 \cdot 2(x + 3) \cdot (x - 5) + 2(x + 3) \cdot 2(x - 5) = 4(x + 3)(x - 5) + 4(x + 3)(x - 5)$ $f''(x) = 8(x + 3)(x - 5)$

Теперь подставим значения x из критических точек:

a) x = -3: $f''(-3) = 8(-3 + 3)(-3 - 5) = 0$ В данной точке вторая производная равна 0, что не дает информации о типе экстремума.

b) x = 5: $f''(5) = 8(5 + 3)(5 - 5) = 0$ В данной точке также вторая производная равна 0, что не дает информации о типе экстремума.

c) x = 1: $f''(1) = 8(1 + 3)(1 - 5) = -64$ В данной точке вторая производная отрицательна, следовательно, это точка максимума.

Итак, функция f(x) имеет точку максимума при x = 1, и в остальных критических точках (x = -3, x = 5) тип экстремума не определен.