Question

Разность четвертого и первого членов геометрической прогрессии равна 26, а разность пятого и третьего членов равна 78. Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.

Answer 1

На основании задания составляем равенства:
a₁q³ - a₁ = 26,       a₁(q³ - 1) = 26.      a₁(q - 1)(q² + q + 1) = 26, 
a₁q⁴ - a₁q² = 78,    a₁q² (q² - 1) =78,  a₁q² (q - 1)(q + 1) =78.
Разделим второе равенство на первое, произведя сокращение на a₁(q - 1), с учётом того, что знаменатель прогрессии q не может быть равен 1, иначе разность между любыми членами равна 0.
Получаем  (q²(q + 1))/(q² + q + 1) = 3.
Приведя подобные, получаем кубическое уравнение:
q³ - 2q² - 3q - 3 = 0.
Решение его с использованием формулы Кардано приведено в приложении: q = 3,220693.
Находим первый член: а₁ = 26 /(q³ - 1) =  0,802276.
Сумма первых шести членов этой прогрессии равна:
S6 = (a₆q - a₁)/(q - 1) =  402,8485.

Для проверки даются члены этой прогрессии.
0,802276     2,583885     8,321898      26,80228      86,32189      278,0163.

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте обозначим первый член геометрической прогрессии через "а", а знаменатель (отношение) прогрессии — через "q".

Тогда шестой член прогрессии будет равен: a * q^5

Разность четвертого и первого членов: a * q^3 - a = 26

Разность пятого и третьего членов: a * q^4 - a * q^2 = 78

Теперь, давайте решим систему уравнений:

Система уравнений:

1. a * q^3 - a = 26
2. a * q^4 - a * q^2 = 78

Для этого, давайте выразим a из первого уравнения:

a * q^3 - a = 26 a * (q^3 - 1) = 26 a = 26 / (q^3 - 1)

Теперь, подставим полученное значение a во второе уравнение:

(26 / (q^3 - 1)) * q^4 - (26 / (q^3 - 1)) * q^2 = 78

Теперь решим это уравнение:

26 * q^4 - 26 * q^2 = 78 * (q^3 - 1)

26 * q^4 - 26 * q^2 = 78 * q^3 - 78

26 * q^4 - 78 * q^3 - 26 * q^2 + 78 = 0

Теперь, факторизуем уравнение:

26 * (q^4 - 3 * q^3 - q^2 + 3) = 0

Так как q не может быть равным нулю (в противном случае прогрессия будет вырожденной), то решаем квадратное уравнение:

q^4 - 3 * q^3 - q^2 + 3 = 0

Это уравнение сложно решить аналитически, но мы можем найти численное приближенное решение. Компьютерные методы или калькуляторы могут помочь нам найти корни уравнения:

В результате, получим два положительных корня: примерно q ≈ 3.362 и q ≈ 0.237.

Теперь, для каждого значения q, найдем соответствующее значение a, используя первое уравнение:

1. q ≈ 3.362:

a ≈ 26 / (3.362^3 - 1) ≈ 26 / (37.798 - 1) ≈ 26 / 36.798 ≈ 0.706

2. q ≈ 0.237:

a ≈ 26 / (0.237^3 - 1) ≈ 26 / (0.013 - 1) ≈ 26 / (-0.987) ≈ -26.347

Мы получили две пары значений (a, q):

1. (0.706, 3.362)
2. (-26.347, 0.237)

Теперь, можем найти сумму первых шести членов прогрессии с помощью формулы для суммы геометрической прогрессии:

S_n = a * (q^n - 1) / (q - 1)

где S_n - сумма первых n членов прогрессии.

Для первой пары (0.706, 3.362):

S_6 = 0.706 * (3.362^6 - 1) / (3.362 - 1) ≈ 158.86

Для второй пары (-26.347, 0.237):

S_6 = -26.347 * (0.237^6 - 1) / (0.237 - 1) ≈ -26.405

Таким образом, сумма первых шести членов геометрической прогрессии составляет примерно 158.86 или около -26.405, в зависимости от значения q, которое было использовано. Ответ: 158.86 или около -26.405 (в зависимости от значения q).