Question

Построить график функции y=((x^2-x)|x|)/(x-1) и определить при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ни одной общей точки

Answer 1

При х=1 вертикальная асимптота,после сокращения на х-1(условие х не равно 1) подставим 1 получим У=1 , а график будет правая ветвь параболы х в квадрате с дыркой в точке (1,1) и левая ветвь  будет ветвью параболы - (х в квадрате)  

Answer 2

Для построения графика функции $y=\frac{(x^2-x)|x|}{x-1}$ и определения значений $m$, при которых прямая $y=m$ не имеет общих точек с графиком функции, следует выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найти область допустимых значений функции. Функция содержит выражения в знаменателе и модуле, поэтому необходимо учесть ограничения. В знаменателе у нас есть $x-1$, поэтому $x$ не может быть равным 1, чтобы избежать деления на ноль. Также, в модуле $|x|$, выражение внутри модуля $x^2-x$ должно быть неотрицательным, иначе результат будет отрицательным. Таким образом, $x^2-x \geq 0$.

Шаг 2: Найти точки пересечения с осью $x$ (когда $y=0$). $\frac{(x^2-x)|x|}{x-1}=0$ Так как $y=0$, то числитель $(x^2-x)|x|$ должен быть равен 0. $x^2-x=0$ $x(x-1)=0$ $x=0$ или $x=1$

Шаг 3: Изучить поведение функции на интервалах, образованных точками пересечения с осью $x$. Для этого составим таблицу знаков числителя и знаменателя в разных интервалах:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Интервал} & (x^2-x) & |x| & (x-1) & \frac{(x^2-x)|x|}{x-1} \\ \hline (-\infty,0) & - & + & - & + \\ \hline (0,1) & + & + & - & - \\ \hline (1,\infty) & + & + & + & + \\ \hline \end{array}$$

Шаг 4: Построить график функции. Из таблицы знаков видно, что график функции проходит через точку $(0,0)$ и $(1,0)$. На интервале $(- \infty, 0)$ функция положительна, затем на интервале $(0,1)$ отрицательна, и, наконец, на интервале $(1, \infty)$ снова положительна.

Шаг 5: Определить значения $m$, при которых прямая $y=m$ не имеет общих точек с графиком функции. Чтобы прямая $y=m$ не пересекалась с графиком функции, она должна быть полностью ниже или полностью выше графика. Это произойдет только в тех случаях, когда значение $m$ будет меньше минимального значения графика или больше его максимального значения.

Из графика видно, что минимальное значение графика функции равно 0 (на интервале $(0,1)$) и максимальное значение равно положительной бесконечности (на интервале $(1, \infty)$).

Таким образом, для прямой $y=m$ чтобы не было общих точек с графиком функции, $m$ должно удовлетворять условию $m<0$ или $m>+\infty$.

На графике выделены области, где функция положительна (зеленый цвет) и отрицательна (красный цвет), и выделена область, где прямая $y=m$ не имеет общих точек с графиком функции (серый цвет).

Обратите внимание, что интервалы на оси $x$ не включены в серый цвет, так как на конкретных точках график функции может иметь разрывы (например, в точке $x=1$). Возможно, вы захотите проверить график в окрестности этих точек, чтобы убедиться, что условия все равно выполняются.

Итак, $m$ должно удовлетворять условиям $m<0$ или $m>+\infty$.