Question

При яких значеннях параметра a корені рівняння x²-(2a+1)x+4-a=0 розміщенні між числами 1 і 3?

Answer 1

Для того, что бы оба корня квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$ находились между  $M$ и  $N$, необходимо и достаточно, что бы выполнялись условия:

Случай 1:
$\begin{equation*} \begin{cases} a\ \textgreater \ 0\\ D \geq 0\\ M \ \textless \ -\frac{b}{2a} \ \textless \ N\\ f(M)\ \textgreater \ 0\\ f(N)\ \textgreater \ 0 \end{cases} \end{equation*}$

Случай 2:
$\begin{equation*} \begin{cases} a\ \textless \ 0\\ D \geq 0\\ M \ \textless \ -\frac{b}{2a} \ \textless \ N\\ f(M)\ \textless \ 0\\ f(N)\ \textless \ 0 \end{cases} \end{equation*}$

---------------------------------
$> <img src=$

$\frac{1}{2}\ ?\ \frac{-2+\sqrt{19}}{2}\\\\ 1\ ?\ -2+\sqrt{19}\\\\ 3\ ?\ \sqrt{19}\\\\ 9\ \textless \ 19$

--------------------------------------
$a\in[\frac{-2+\sqrt{19}}{2};\ \frac{4}{3})$

Answer 2

Для знаходження розміщення коренів рівняння між числами 1 і 3, спочатку треба знайти значення параметра "a", при яких рівняння має корені в цьому проміжку. Щоб це зробити, використаємо умову дискримінанта.

Дискримінант для квадратного рівняння ax² + bx + c = 0 обчислюється за формулою D = b² - 4ac.

Якщо D > 0, рівняння має два різних корені. Якщо D = 0, рівняння має один корінь. Якщо D < 0, рівняння не має розв'язків у дійсних числах.

В нашому випадку m1 = 1 і m2 = 3. Тобто, ми хочемо знайти значення "a", для яких корені лежать між 1 і 3.

Рівняння, яке дано: x² - (2a + 1)x + 4 - a = 0.

Зіставляючи з загальною формою ax² + bx + c = 0, отримуємо: a = 1 b = -(2a + 1) = -(2*1 + 1) = -3 c = 4 - a = 4 - 1 = 3

Тепер, обчислюємо дискримінант D: D = b² - 4ac = (-3)² - 413 = 9 - 12 = -3.

Отже, дискримінант D < 0 для будь-якого значення "a", тому рівняння не має розв'язків у дійсних числах для жодного значення "a". Це означає, що корені не можуть бути розміщені між числами 1 і 3.