Question

найдите все значения m при которых уравнение 4(m+7)x²+4(m+1)x+1=0 имеет единственный корень для каждого значения m найти корень уравнения

Answer 1

4(m+7)x²+4(m+1)x+1=0
D=16(m+1)²-4·4·(m+7)=0
16(m+1)²-16(m+7)=0
(m+1)²-(m+7)=0
m²+2m+1-m-7=0
m²+m-6=0
m₁+m₂=-1
m₁m₂=-6  m₁=-3  m₂=2
если m=-3
4(-3+7)x²+4(-3+1)x+1=0
16x²-8x+1=0
(4x-1)²=0
4x-1=0
x=1/4
если m=2
4(2+7)x²+4(2+1)x+1=0
36x²+12x+1=0
(6x+1)²=0
6x+1=0
x=-1/6

Answer 2

Чтобы уравнение имело единственный корень, дискриминант должен быть равен нулю. Дискриминант квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 вычисляется по формуле D = b² - 4ac.

В данном случае, у нас есть уравнение 4(m+7)x² + 4(m+1)x + 1 = 0. Соответствующие значения a, b и c: a = 4(m+7), b = 4(m+1) и c = 1.

Теперь мы можем записать уравнение для дискриминанта и приравнять его к нулю:

D = (4(m+1))² - 4 * 4(m+7) * 1 D = 16(m+1)² - 16(m+7)

Теперь найдем значения m, при которых D = 0:

16(m+1)² - 16(m+7) = 0

Разделим на 16:

(m+1)² - (m+7) = 0

Раскроем квадрат:

m² + 2m + 1 - m - 7 = 0

m² + m - 6 = 0

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения. Можно воспользоваться квадратным уравнением или заметить, что данное уравнение разлагается следующим образом:

(m+3)(m-2) = 0

Таким образом, возможные значения m, при которых уравнение имеет единственный корень, равны -3 и 2.

Чтобы найти корень уравнения для каждого значения m, подставим их обратно в исходное уравнение и решим его.

1. При m = -3:

4(-3+7)x² + 4(-3+1)x + 1 = 0 4(4)x² - 8x + 1 = 0 16x² - 8x + 1 = 0

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac D = (-8)² - 4 * 16 * 1 D = 64 - 64 D = 0

Так как дискриминант равен нулю, у нас есть единственный корень:

x = -b / 2a x = -(-8) / 2 * 16 x = 8 / 32 x = 1/4

2. При m = 2:

4(2+7)x² + 4(2+1)x + 1 = 0 4(9)x² + 12x + 1 = 0 36x² + 12x + 1 = 0

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac D = (12)² - 4 * 36 * 1 D = 144 - 144 D = 0

Так как дискриминант равен нулю, у нас есть единственный корень:

x = -b / 2a x = -12 / 2 * 36 x = -1/6

Таким образом, для значений m равных -3 и 2 уравнение имеет единственный корень. Корни уравнения при этих значениях m равны 1/4 и -1/6 соответственно.