Question

Решите уравнение cos4x - cos^2x = 1

Answer 1

$\cos 4x-\cos^2 x=1;\ \cos 4x=1+\cos^2 x$. Левая часть уравнения меньше или равна 1, правая часть больше или равна 1. Поэтому они обе должны быть равны 1:

$\left \{ {{\cos 4x=1} \atop {1+\cos^2 x=1}} \right.;\ \left \{ {{4x=2\pi n} \atop {\cos x=0}} \right. ;\ \left \{ {{x=\pi n/2} \atop {x=(\pi/2)+\pi k}} \right. \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi k; k\in Z$

Замечание. Можно было не решать первое уравнение системы, а решить только второе и найденное решение подставить в первое, убедившись, что оно автоматически становится тождеством. 

Ответ:  $\frac{\pi}{2}+\pi k;\ k\in Z$

Answer 2

Для решения уравнения cos(4x) - cos^2(x) = 1, следует применить алгебраические методы и тригонометрические тождества.

1. Используем тригонометрическое тождество для cos(4x):

   cos(4x) = 2 * cos^2(2x) - 1

2. Подставляем тождество в исходное уравнение:

   2 * cos^2(2x) - 1 - cos^2(x) = 1

3. Объединяем члены с cos^2(2x):

   2 * cos^2(2x) - cos^2(x) = 2

4. Заменим cos^2(2x) на 1 - sin^2(2x) (используем тригонометрическое тождество cos^2(a) = 1 - sin^2(a)):

   2 * (1 - sin^2(2x)) - cos^2(x) = 2

5. Раскрываем скобки и упрощаем уравнение:

   2 - 2 * sin^2(2x) - cos^2(x) = 2

6. Переносим все члены влево:

   -2 * sin^2(2x) - cos^2(x) = 0

7. Теперь заменим sin^2(2x) на 1 - cos^2(2x) (используем тригонометрическое тождество sin^2(a) = 1 - cos^2(a)):

   -2 * (1 - cos^2(2x)) - cos^2(x) = 0

8. Раскрываем скобки и упрощаем уравнение:

   -2 + 2 * cos^2(2x) - cos^2(x) = 0

9. Подставим тождество для cos^2(2x) снова:

   -2 + 2 * (2 * cos^2(x) - 1) - cos^2(x) = 0

10. Раскрываем скобки и упрощаем уравнение:

-2 + 4 * cos^2(x) - 2 - cos^2(x) = 0

11. Собираем все члены вместе:

3 * cos^2(x) = 0

12. Разделим обе стороны на 3:

cos^2(x) = 0

13. Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон:

cos(x) = 0

14. Решим уравнение для cos(x):

x = π/2 + kπ, где k - целое число.

Таким образом, решения уравнения cos(4x) - cos^2(x) = 1 имеют вид x = π/2 + kπ, где k - целое число.