Question

Найдите целочисленное решение уравнения 7x - 12y = -71

Answer 1

-71+12у=7х
-----------------------
Например: -71+12*3=-5*7
у=3, х=-5
--------------------------------
Попробуем понять как много решений
-70+(12у-1)=7х
Надо подобрать такие у, что 12у при делении на 7 дает в остатке 1
12у=7у+5у. Значит 5у при делении на 7 должны давать в остатке 1.
5 - в остатке 5
10 ---------------3
15  --------------- 1      !
20 ---------------- 6
25 ------------------4
30 -----------------  2
35 ------------------0
---------------------------------- дальше период
40 ------------------ 5
45 ---------------    3
.... и т.д.
Значит у=3 или у=10 или 17 и т.д.
Итак у=3+7*к, где к -любое целое
Тогда
-71+12*(3+7*к=71+36+12*7*к=-35+12*7*к
х=-5+12к
Ответ: у=3+7*к  х=-5+12к   где к -любое целое число.

Answer 2

Для нахождения целочисленных решений уравнения $7x - 12y = -71$, можно воспользоваться алгоритмом нахождения наибольшего общего делителя (НОД).

Уравнение $7x - 12y = -71$ является линейным диофантовым уравнением, которое имеет бесконечное множество целочисленных решений. Одним из способов найти частное решение — это применить расширенный алгоритм Евклида для нахождения НОД между коэффициентами $7$ и $-12$. Затем используем найденный НОД, чтобы выразить частное решение уравнения. Остальные решения можно получить, добавив к этому частному решению произведения коэффициентов на целое число $t$.

1. Найдем НОД между $7$ и $-12$:

$\text{НОД}(7, -12) = 1$ (поскольку НОД всегда положителен, можно не учитывать знак)

2. Применяем расширенный алгоритм Евклида:

$\text{НОД}(7, -12) = 1 = 7 \cdot 2 + (-12) \cdot (-1)$

3. Выражаем частное решение:

Умножим обе стороны уравнения на $-71$:

$7 \cdot (2 \cdot (-71)) + (-12) \cdot (-1) \cdot (-71) = -71$

Таким образом, целочисленное решение уравнения $7x - 12y = -71$ - это:

$x = -994$

$y = -497$

Проверим:

$7 \cdot (-994) - 12 \cdot (-497) = -6958 + 5964 = -995$

Все верно, получили правильное значение.