Question

Упростите выражение: (1+sin α-cos2α-sin3α)/(2sin² α+sin α-1)

Answer 1

(1+sin α-cos2α-sin3α)/(2sin² α+sin α-1)=(2sin²a-2sinacos2a)/(-cos2a+sina)=
=2sina(sina-cos2a)/(sina-cos2a)=2sina

Answer 2

Для упрощения данного выражения, воспользуемся тригонометрическими тождествами. Начнем с разложения косинуса в квадрате и синуса тройного угла:

cos^2(α) = (1 + cos(2α)) / 2 sin(3α) = 3sin(α) - 4sin^3(α)

Подставим эти значения в исходное выражение:

(1 + sin(α) - cos^2(α) - sin(3α)) / (2sin^2(α) + sin(α) - 1) = (1 + sin(α) - (1 + cos(2α)) / 2 - (3sin(α) - 4sin^3(α))) / (2sin^2(α) + sin(α) - 1) = (1 + sin(α) - 1/2 - cos(2α)/2 - 3sin(α) + 4sin^3(α)) / (2sin^2(α) + sin(α) - 1) = (1/2 + sin(α) - cos(2α)/2 - 3sin(α) + 4sin^3(α)) / (2sin^2(α) + sin(α) - 1)

Теперь объединим подобные слагаемые, упростим числитель и заменим sin(α) на x, чтобы дальше было удобнее работать:

(1/2 + x - cos(2α)/2 - 3x + 4x^3) / (2x^2 + x - 1)

Для упрощения дроби и избавления от cos(2α) воспользуемся тригонометрическим тождеством:

cos(2α) = 2cos^2(α) - 1

Подставим вместо cos(2α) данное выражение:

(1/2 + x - (2cos^2(α) - 1)/2 - 3x + 4x^3) / (2x^2 + x - 1) = (1/2 + x - cos^2(α) + 1/2 - 3x + 4x^3) / (2x^2 + x - 1) = (x - cos^2(α) - 3x + 4x^3 + 1) / (2x^2 + x - 1) = (4x^3 - 2x + 1 - cos^2(α)) / (2x^2 + x - 1)

Теперь упростим числитель, заменив cos^2(α) на 1 - sin^2(α):

(4x^3 - 2x + 1 - (1 - sin^2(α))) / (2x^2 + x - 1) = (4x^3 - 2x + 1 - 1 + sin^2(α)) / (2x^2 + x - 1) = (4x^3 - 2x + sin^2(α)) / (2x^2 + x - 1)

Теперь у нас есть упрощенное выражение:

(4x^3 - 2x + sin^2(α)) / (2x^2 + x - 1)

Мы не можем упростить его дальше, так как неизвестно какое-либо дополнительное соотношение между α и x.