Question

Докажите что квадрат любого простого числа большего 3 имеет вид 12k+1

Answer 1

Запишем простое число p в виде p=6q+m, где m принимает одно из значений от 0 до 5. Поскольку p>3 и p простое, m может принимать только значения 1 и 5 (если m=0, 2 или 4, то p делится на 2, если m=3, то p делится на 3). Если m=5, то p=6q+5=6(q+1)-1. Поэтому в любом случае p или на 1 больше числа, делящегося на 6, или на 1 меньше числа, делящегося на 6. Поэтому 

$p^2=(6n\pm 1)^2=36n^2\pm 12n+1=12(3n^2\pm n)+1=12k+1,$

что и требовалось доказать.

Answer 2

Доказательство:

Пусть p - простое число, большее 3. Тогда p имеет вид 6k ± 1, где k - некоторое натуральное число. Это следует из того факта, что все простые числа больше 3 имеют вид 6k ± 1.

Теперь давайте рассмотрим квадрат этого простого числа:

p^2 = (6k ± 1)^2 = 36k^2 ± 12k + 1 = 12(3k^2 ± k) + 1.

Таким образом, мы получили выражение вида 12k + 1, где k = 3k^2 ± k. Заметим, что k является целым числом, так как p > 3 и 3k^2 ± k также будут целыми числами.

Таким образом, мы доказали, что квадрат любого простого числа больше 3 имеет вид 12k + 1, где k - некоторое целое число.