Question

Найти все значения параметра а при каждом из которых система имеет единственное решение |2x+y-3| >=4, (x-a)^2+(y-16a)2=0,5-a

Answer 1

Тут либо подвох ,либо вы просто опечатались .Так как я не увидел квадрата (y-16a) ,решил без него и получил ,что решения нет
Неравенство задаёт область ,она изображена на рисунке,уравнение задаёт параболу ,которая всегда будет лежать в этой области ,то есть всегда будет бесконечно много решений 

Answer 2

Для того чтобы найти все значения параметра "a", при которых система имеет единственное решение, нужно рассмотреть два случая: когда выражение |2x + y - 3| >= 4 выполняется и когда оно не выполняется.

Случай 1: |2x + y - 3| >= 4 выполняется

В этом случае у нас имеется неравенство, задающее область, в которой система имеет единственное решение. Неравенство |2x + y - 3| >= 4 представляет собой неравенство двух полуплоскостей:

1. 2x + y - 3 >= 4
2. -(2x + y - 3) >= 4

Решим эти два неравенства по отдельности:

1. 2x + y - 3 >= 4 y >= -2x + 7

2. -(2x + y - 3) >= 4 -2x - y + 3 >= 4 y <= -2x - 1

Теперь рассмотрим уравнение: (x - a)^2 + (y - 16a)^2 = 0,5 - a.

Это уравнение задает окружность с центром в точке (a, 16a) и радиусом sqrt(0,5 - a).

Случай 2: |2x + y - 3| < 4 не выполняется

Это значит, что система не имеет решений за пределами области, определенной неравенством |2x + y - 3| >= 4. Следовательно, у нас возможно единственное решение только внутри этой области.

Теперь рассмотрим два возможных взаимных расположения прямых y = -2x + 7 и y = -2x - 1 относительно окружности (x - a)^2 + (y - 16a)^2 = 0,5 - a:

1. Окружность не пересекает прямую y = -2x + 7: В этом случае, единственное решение системы должно лежать внутри области, определенной неравенством y >= -2x + 7. Также, эта область должна пересекаться с окружностью (x - a)^2 + (y - 16a)^2 = 0,5 - a.

2. Окружность не пересекает прямую y = -2x - 1: В этом случае, единственное решение системы должно лежать внутри области, определенной неравенством y <= -2x - 1. Также, эта область должна пересекаться с окружностью (x - a)^2 + (y - 16a)^2 = 0,5 - a.

Таким образом, нам нужно найти значения "a", при которых окружность (x - a)^2 + (y - 16a)^2 = 0,5 - a пересекается с прямыми y = -2x + 7 и y = -2x - 1.

Поскольку система имеет единственное решение, когда прямая и окружность касаются в одной точке, расстояние от центра окружности (a, 16a) до прямой должно быть равно радиусу окружности sqrt(0,5 - a).

Рассчитаем расстояние от точки (a, 16a) до прямой y = -2x + 7:

Расстояние = |(-2 * a + 7) - 16a| / sqrt(1 + (-2)^2) = |7 - 18a| / sqrt(5)

Аналогично, расстояние от точки (a, 16a) до прямой y = -2x - 1:

Расстояние = |(-2 * a - 1) - 16a| / sqrt(1 + (-2)^2) = |-1 - 18a| / sqrt(5)

Теперь нам нужно найти значения "a", при которых оба расстояния равны радиусу окружности sqrt(0,5 - a):

1. |7 - 18a| / sqrt(5) = sqrt(0,5 - a) Разделим обе стороны на sqrt(0,5 - a): |7 - 18a| = sqrt(5 * (0,5 - a))

Таким образом, возможные значения "a" получаем из решения следующего уравнения:

1. |7 - 18a| = sqrt(5 * (0,5 - a))

2. |-1 - 18a| / sqrt(5) = sqrt(0,5 - a) Разделим обе стороны на sqrt(0,5 - a): |-1 - 18a| = sqrt(5 * (0,5 - a))

Теперь найденные значения "a" необходимо проверить, чтобы убедиться, что они удовлетворяют исходной системе уравнений. Возможно, некоторые из них окажутся недопустимыми, так как могут не выполнять неравенство |2x + y - 3| >= 4.