Question

Дам много баллов, объясните Решить задачу и привести подробное решение Дана система уравнений {ax+y-a^2=0 < {(a-6)x+(a-4)y+4a=0 Найдите значения параметра а Х, при которых: а) система имеет единственное решение б) система имеет более одного решения в) система не имеет решений

Answer 1

А) При а=0 система имеет единственное решение Х=0, У=0.
б)При а=(3-33^1/2)/2 ,

и при а==(3+33^1/2)/2 
Система уравнений имеет более одного решения.
в) При а=3 Система уравнений не имеет решений.

Answer 2

Для решения данной системы уравнений, мы можем использовать метод Крамера.

Сначала запишем данную систему в матричной форме:

| a 1 | | x | | a^2 | | a-6 a-4 | * | y | = | -4a |

Вычислим определитель матрицы коэффициентов:

D = | a 1 | | a-6 a-4 |

D = a*(-4a) - (a-6)*1 D = -4a^2 - (a - 6) D = -4a^2 - a + 6

Теперь вычислим определитель матрицы, полученной заменой столбца свободных членов на столбец коэффициентов перед переменными x:

Dx = | a^2 1 | | -4a a-4 |

Dx = a^2*(a-4) - (-4a)*1 Dx = a^3 - 4a^2 + 4a

Аналогично, вычисляем определитель матрицы, полученной заменой столбца свободных членов на столбец коэффициентов перед переменными y:

Dy = | a a^2 | | a-6 -4a |

Dy = a*(-4a) - (a-6)*a^2 Dy = -4a^2 - a^3 + 6a^2 Dy = -a^3 + 2a^2

Теперь можем приступить к анализу значений параметра a.

1) Если D ≠ 0, то система имеет единственное решение. Для этого нужно, чтобы определитель матрицы коэффициентов D ≠ 0:

-4a^2 - a + 6 ≠ 0

Решим это уравнение:

-4a^2 - a + 6 = 0

Для этого используем квадратное уравнение:

D = a^2 - 4*(-4)*(6) D = a^2 + 96

a1 = (-(-1) + sqrt(a^2 + 96)) / (2*(-4)) = (1 + sqrt(a^2 + 96)) / (-8)

a2 = (-(-1) - sqrt(a^2 + 96)) / (2*(-4)) = (1 - sqrt(a^2 + 96)) / (-8)

Получаем два значения параметра a, при которых система имеет единственное решение.

2) Если D = 0 и хотя бы один из определителей Dx и Dy ≠ 0, то система имеет более одного решения. Для этого нужно, чтобы определитель матрицы коэффициентов D = 0 и хотя бы один из определителей Dx и Dy ≠ 0:

-4a^2 - a + 6 = 0

Решим это уравнение:

-4a^2 - a + 6 = 0

D = a^2 - 4*(-4)*(6) D = a^2 + 96

a1 = (-(-1) + sqrt(a^2 + 96)) / (2*(-4)) = (1 + sqrt(a^2 + 96)) / (-8)

a2 = (-(-1) - sqrt(a^2 + 96)) / (2*(-4)) = (1 - sqrt(a^2 + 96)) / (-8)

Получаем два значения параметра a, при которых система имеет более одного решения.

3) Если D = 0 и определители Dx и Dy = 0, то система не имеет решений. Для этого нужно, чтобы определитель матрицы коэффициентов D = 0 и определители Dx и Dy = 0:

-4a^2 - a + 6 = 0

Решим это уравнение:

-4a^2 - a + 6 = 0

D = a^2 - 4*(-4)*(6) D = a^2 + 96

a1 = (-(-1) + sqrt(a^2 + 96)) / (2*(-4)) = (1 + sqrt(a^2 + 96)) / (-8)

a2 = (-(-1) - sqrt(a^2 + 96)) / (2*(-4)) = (1 - sqrt(a^2 + 96)) / (-8)

Получаем два значения параметра a, при которых система не имеет решений.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные значения параметра a и определили, при каких значениях система имеет единственное решение, более одного решения или не имеет решений.