Question

Определите, сколько различных действительных корней имеет уравнение 2x^2=√3(x^2+x−1).

Answer 1

${2x}^{2} = \sqrt{3} ( {x}^{2} + x - 1) \\ {2x}^{2} = \sqrt{3} {x}^{2} + \sqrt{3x} - \sqrt{3} \\ {2x}^{2} - \sqrt{3 {x}^{2} } - \sqrt{3x} + \sqrt{3} = 0 \\ (2 - \sqrt{3} ) {x}^{2} - \sqrt{3x} + \sqrt{3} = 0 \\ x = \frac{ \sqrt{3} + \sqrt{15 - 8 \sqrt{3} } }{2(2 - \sqrt{3} )} \\ x = \frac{ \sqrt{ 3} - \sqrt{15 - 8 \sqrt{3} } }{2(2 - \sqrt{3}) }$

Answer 2

Для определения количества различных действительных корней уравнения 2x^2 = √3(x^2 + x - 1), нужно решить это уравнение.

1. Приведем уравнение к стандартному квадратному виду (ax^2 + bx + c = 0): 2x^2 = √3(x^2 + x - 1) 2x^2 = √3x^2 + √3x - √3 2x^2 - √3x^2 - √3x + √3 = 0 (2 - √3)x^2 - √3x + √3 = 0

2. Теперь у нас есть квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где a = 2 - √3, b = -√3 и c = √3.

3. Для определения количества действительных корней, нужно вычислить дискриминант D по формуле D = b^2 - 4ac и проанализировать его значение.

   D = (-√3)^2 - 4(2 - √3)(√3) = 3 - 4(2 - √3)(√3) = 3 - 4(2√3 - 3) = 3 - 8√3 + 12 = 15 - 8√3

4. Теперь проанализируем значение дискриминанта:

   a) Если D > 0, то уравнение имеет два различных действительных корня. b) Если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень кратности 2. c) Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Подставим значение дискриминанта:

D = 15 - 8√3 ≈ 2.59

Так как D > 0, уравнение имеет два различных действительных корня.