Question

Решить неравенство : (х-1)(х+2)(х-3)⩾0 Решить неравенство : х^2+2х/х-1 ⩽ 0 Решить неравенство : х-1/х^2-5х+6 ⩾0

Answer 1

Решено $\checkmark$

Answer 2

Для решения данных неравенств, нам потребуется проанализировать знаки выражений на интервалах. Для этого следует следующий подход:

1. Найти значения x, которые делают каждый множитель равным нулю (точки разрыва функции).
2. Разбить весь числовой промежуток на интервалы, используя найденные значения x.
3. Определить знак выражения на каждом интервале, используя промежуточные значения.

Давайте решим каждое неравенство по очереди:

1. Решить неравенство: (x-1)(x+2)(x-3)⩾0

Сначала найдем значения x, при которых каждый множитель равен нулю:

x - 1 = 0 => x = 1 x + 2 = 0 => x = -2 x - 3 = 0 => x = 3

Теперь разделим числовую прямую на интервалы:

1. x < -2
2. -2 < x < 1
3. 1 < x < 3
4. x > 3

Теперь определим знак выражения на каждом интервале:

1. Подставим x = -3 (любое значение из интервала), получим (-3-1)(-3+2)(-3-3) = (-4)(-1)(-6) = 24 (положительное число). Знак "+".
2. Подставим x = 0 (любое значение из интервала), получим (0-1)(0+2)(0-3) = (-1)(2)(-3) = 6 (положительное число). Знак "+".
3. Подставим x = 2 (любое значение из интервала), получим (2-1)(2+2)(2-3) = (1)(4)(-1) = -4 (отрицательное число). Знак "-".
4. Подставим x = 4 (любое значение из интервала), получим (4-1)(4+2)(4-3) = (3)(6)(1) = 18 (положительное число). Знак "+".

Таким образом, неравенство выполняется на интервалах: (-∞, -2], (1, 3], и решением будет объединение этих интервалов:

Решение: x ∈ (-∞, -2] ∪ (1, 3]

2. Решить неравенство: х^2 + 2х/(х - 1) ⩽ 0

Для начала, заметим, что в знаменателе есть х - 1, значит, значение х не должно быть равно 1, и нам необходимо исключить такое значение из области определения.

Область определения: х ≠ 1

Теперь рассмотрим числитель и знаменатель отдельно:

Числитель: x^2 + 2x Знаменатель: x - 1

Решим числитель x^2 + 2x = 0:

x^2 + 2x = x(x + 2) = 0

Таким образом, имеем два корня: x = 0 и x = -2

Теперь разделим числовую прямую на интервалы:

1. x < -2
2. -2 < x < 0
3. 0 < x < 1
4. x > 1

Теперь определим знак выражения на каждом интервале:

1. Подставим x = -3 (любое значение из интервала), получим (-3)^2 + 2(-3) = 9 - 6 = 3 (положительное число). Знак "+".
2. Подставим x = -1 (любое значение из интервала), получим (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1 (отрицательное число). Знак "-".
3. Подставим x = 0.5 (любое значение из интервала), получим (0.5)^2 + 2(0.5) = 0.25 + 1 = 1.25 (положительное число). Знак "+".
4. Подставим x = 2 (любое значение из интервала), получим 2^2 + 2*2 = 4 + 4 = 8 (положительное число). Знак "+".

Таким образом, неравенство выполняется на интервалах: (-2, 0] и (1, +∞), и решением будет объединение этих интервалов:

Решение: x ∈ (-2, 0] ∪ (1, +∞)

3. Решить неравенство: (x - 1)/(x^2 - 5x + 6) ⩾ 0

Начнем с факторизации знаменателя:

x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

Теперь найдем значения x, при которых знаменатель равен нулю:

x - 2 = 0 => x = 2 x - 3 = 0 => x = 3

Теперь разделим числовую прямую на интервалы:

1. x < 2
2. 2 < x < 3
3. x > 3

Теперь определим знак выражения на каждом интервале:

1. Подставим x = 1 (любое значение из интервала), получим (1 - 1) / ((1)^2 - 5(1) + 6) = 0 / 2 = 0 (неотрицательное число). Знак "+".
2. Подставим x = 2.5 (любое