Question

Решите методом интервалов неравенство 4-х/х-2 >1

Answer 1

(4-x)/(x-2)>1               ОДЗ: x-2≠0     x≠2.
(4-x)/(x-2)-1>0
(4-x-(x-2))/(x-2)>0
(4-x-x+2)/(x-2)>0
(6-2x)/(x-2)>0
2*(3-x)/(x-2)>0   |÷2
(3-x)/(x-2)>0
-∞_____-_____2_____+_____3_____-_____+∞  ⇒
Ответ: x∈(2;3).

Answer 2

Для решения неравенства методом интервалов, нужно выполнить следующие шаги:

1. Привести неравенство к виду, где все слагаемые находятся на одной стороне неравенства (обычно справа). В данном случае нам нужно перенести все слагаемые на левую сторону:

   $\frac{4x}{x-2} > 1$.

   Вычитаем 1 из обеих сторон:

   $\frac{4x}{x-2} - 1 > 0$.

2. Привести дробь к общему знаменателю:

   $\frac{4x - (x-2)}{x-2} > 0$.

   Упрощаем числитель:

   $\frac{4x - x + 2}{x-2} > 0$.

   Получаем:

   $\frac{3x + 2}{x-2} > 0$.

3. Найдем точки разрыва функции, которые определяют интервалы, на которых мы будем исследовать неравенство. В данном случае, разрывы возникают, когда знаменатель равен нулю:

   $x - 2 = 0$.

   Решаем уравнение:

   $x = 2$.

   Итак, у нас есть одна точка разрыва $x = 2$.

4. Теперь нарисуем знаковую линию и определим знак выражения $\frac{3x + 2}{x-2}$ на каждом интервале.

   	$x < 2$	$x = 2$	$x > 2$
   $3x + 2$	-	+	+
   $x - 2$	-	0	+
   $\frac{3x + 2}{x-2}$	+	не опр.	+

5. Наконец, найдем интервалы, для которых выполняется неравенство $\frac{3x + 2}{x-2} > 0$.

   Неравенство $\frac{3x + 2}{x-2} > 0$ верно, когда $\frac{3x + 2}{x-2}$ положительно, то есть:

   1. На интервале $x < 2$: $\frac{3x + 2}{x-2} > 0$.
   2. На интервале $x > 2$: $\frac{3x + 2}{x-2} > 0$.

   Итак, решением данного неравенства является объединение двух интервалов:

   $x \in (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$.