Question

Доказать тождество sin(l-b)sin(l+b)=sin²l-sin²b

Answer 1

Я написал решение на листочке ===>>

Answer 2

Для доказательства данного тождества, воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Тождество 1: $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$

Тождество 2: $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$

Тождество 3: $\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$

Теперь приступим к доказательству:

Имеем тождество: $\sin(l - b) \sin(l + b) = \sin^2 l - \sin^2 b$

Начнем с левой стороны:

$\sin(l - b) \sin(l + b)$

Используем Тождество 1: $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$

$\sin(l - b) \sin(l + b) = (\sin l \cos b + \cos l \sin b)(\sin l \cos b - \cos l \sin b)$

Теперь раскроем скобки:

$(\sin l \cos b + \cos l \sin b)(\sin l \cos b - \cos l \sin b) = \sin^2 l \cos^2 b - \cos^2 l \sin^2 b$

Используем Тождество 3: $\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$

$\sin^2 l \cos^2 b - \cos^2 l \sin^2 b = \sin^2 l (1 - \sin^2 b) - (1 - \sin^2 l) \sin^2 b$

Раскроем скобки:

$\sin^2 l (1 - \sin^2 b) - (1 - \sin^2 l) \sin^2 b = \sin^2 l - \sin^2 l \sin^2 b - \sin^2 b + \sin^2 l \sin^2 b$

Мы видим, что некоторые члены сокращаются:

$\sin^2 l - \sin^2 l \sin^2 b - \sin^2 b + \sin^2 l \sin^2 b = \sin^2 l - \sin^2 b$

Теперь у нас есть:

$\sin(l - b) \sin(l + b) = \sin^2 l - \sin^2 b$

Таким образом, левая сторона равна правой стороне, и тождество доказано:

$\sin(l - b) \sin(l + b) = \sin^2 l - \sin^2 b$