Question

Найдите значение функции y=x^2(x-6)^2 в точке ее максимума

Answer 1

Сначала найдём производную от функции. Затем приравняем к нулю. Найдём точку максимума и подставим в саму функцию.

Answer 2

Чтобы найти значение функции y = x^2(x-6)^2 в точке ее максимума, нужно найти производную функции и приравнять ее к нулю. Точка максимума будет соответствовать значению x, при котором производная равна нулю.

Шаг 1: Найдем производную функции y = x^2(x-6)^2.

Используем правило производной произведения функций (Product Rule) и цепное правило (Chain Rule) для нахождения производной:

dy/dx = 2x(x-6)^2 + x^2 * 2(x-6) * 1 dy/dx = 2x(x-6)[(x-6) + x]

dy/dx = 2x(x-6)(2x-6)

Шаг 2: Приравняем производную к нулю и найдем значения x.

2x(x-6)(2x-6) = 0

Теперь решим уравнение:

1. x = 0
2. x - 6 = 0 => x = 6
3. 2x - 6 = 0 => 2x = 6 => x = 3

Таким образом, получаем три возможных значения x: x = 0, x = 3 и x = 6.

Шаг 3: Определение значения функции в точке максимума.

Теперь осталось определить, какое из этих значений x соответствует максимуму функции. Для этого можно использовать вторую производную, но также можно просто рассмотреть значения функции при каждом из x и выбрать наибольшее.

y = x^2(x-6)^2

Подставим каждое значение x:

1. При x = 0: y = 0^2(0-6)^2 = 0

2. При x = 3: y = 3^2(3-6)^2 = 3^2(-3)^2 = 9 * 9 = 81

3. При x = 6: y = 6^2(6-6)^2 = 6^2(0)^2 = 6^2 * 0 = 0

Максимальное значение функции достигается при x = 3 и равно 81.