Question

Разность двух чисел равна 26. Каковы должны быть эти числа, чтобы произведение куба первого числа на второе было наименьшим?

Answer 1

Пусть первое число = х, тогда второе: x+26

по условию выражение:
$x^3*(x+26)$
должно быть наименьшим

воспользуемся производной:

$f(x)=x^3*(x+26)=x^4+26x^3 \\ \\ f'(x)=4x^3+78x^2 \\ \\ f'(x)=0 \ \ =\ \textgreater \ \ \ 4x^3+78x^2=0 \\ \\ 2x^2(2x+39)=0 \\ \\ \begin{bmatrix} 2x^2=0 \\ 2x+39=0 \end{matrix} \ \ \Leftrightarrow \ \ \begin{bmatrix} x_{1,2}=0 \\ x_3=-19.5\end{matrix} \\ \\ \\ -----[-19.5]++++[0]+++++\ \textgreater \ x$

там где производная отрицательна (знак минус), сама функция убывает.

где производная положительна (знак плюс), сама функция возрастает.

Значит при смене знака - на +, получается точка минимума, то есть наименьшее значение х=-19,5
тогда второе число: х+26=-19,5+26=6,5

Ответ: -19,5 и 6,5

Answer 2

Пусть первое число будет обозначено как "х", а второе число — "у".

Мы знаем, что разность двух чисел равна 26: у - х = 26 (у — это второе число, а х — это первое число)

Теперь наша задача — найти значения "х" и "у", чтобы произведение куба первого числа на второе было наименьшим.

Обозначим произведение куба первого числа на второе как "P": P = х^3 * у

Для того чтобы найти минимальное значение "P", можно воспользоваться методом дифференцирования. Для этого найдем производную "P" по "х" и приравняем её к нулю, чтобы найти критические точки.

dP/dx = 3х^2 * у

Теперь приравняем производную к нулю:

3х^2 * у = 0

Так как у > 0 (иначе у нас не будет куба), то у не может быть равно нулю. Значит, единственная возможность, чтобы производная была равна нулю, это когда х = 0.

Теперь найдем значение "у", используя уравнение, которое связывает "х" и "у":

у - х = 26

Подставим х = 0:

у - 0 = 26 у = 26

Таким образом, для того чтобы произведение куба первого числа на второе было наименьшим, первое число должно быть равно 0, а второе число равно 26.