Question

1)Решить log1/3 х=-2 2) Сократить дробь cos8/(cos4+sin4) 3) Какое из данных уравнений не имеет корней х^4- 16 = 0; х^3 - 16; х^4+ 16 = 0; x +16 = 0; х^3 + 16

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

1. Решение уравнения log₁/₃(x) = -2:

Для решения данного уравнения, используем свойство логарифма: logₐ(b) = c эквивалентно a^c = b.

Таким образом, у нас есть уравнение: 1/₃^(-2) = x.

Вычисляем: 1/₃^(-2) = 1/(1/₃²) = 1/(1/9) = 9.

Ответ: x = 9.

2. Упрощение дроби cos(8) / (cos(4) + sin(4)):

Для упрощения дроби, воспользуемся тригонометрическими тождествами: cos(2α) = 2cos²(α) - 1 sin(2α) = 2sin(α)cos(α)

Применим тождество cos(8) = cos(2 * 4) = 2cos²(4) - 1 и sin(4) = sin(2 * 2) = 2sin(2)cos(2).

Теперь заменим cos(8) и sin(4) в исходной дроби:

cos(8) / (cos(4) + sin(4)) = (2cos²(4) - 1) / (cos(4) + 2sin(2)cos(2))

Теперь заменим cos(4) во второй части дроби:

cos(8) / (cos(4) + sin(4)) = (2cos²(4) - 1) / (2cos²(2) + 2sin(2)cos(2))

Далее заметим, что 2cos²(2) = 2cos²(2) + 2sin²(2) = 2(cos²(2) + sin²(2)) = 2.

Теперь дробь становится:

(2cos²(4) - 1) / (2cos²(2) + 2sin(2)cos(2)) = (2cos²(4) - 1) / 2

Теперь заменим cos²(4) через cos(8) снова:

(2cos²(4) - 1) / 2 = (2cos(8) - 1) / 2

Ответ: (2cos(8) - 1) / 2.

3. Уравнения и их корни:

а) х^4 - 16 = 0

Преобразуем уравнение: х^4 = 16

Извлекаем корень четвертой степени: x = ±√2

б) х^3 - 16 = 0

Преобразуем уравнение: х^3 = 16

Извлекаем корень третьей степени: x = ∛16 = 2

в) х^4 + 16 = 0

Это уравнение не имеет корней, так как квадрат и любое число, в том числе и 16, всегда положительны.

г) x + 16 = 0

Преобразуем уравнение: x = -16

д) х^3 + 16 = 0

Это уравнение не имеет действительных корней. Если мы предположим, что х имеет действительный корень, тогда х^3 будет отрицательным (так как 16 положительно), что противоречит уравнению.

Ответ: уравнение x^3 + 16 = 0 не имеет корней.