Question

Найдите площадь плоской фигуры ограниченной линиям: y = -3x²+5, y=0.

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Чтобы найти площадь плоской фигуры, ограниченной этими линиями, нужно определить интервалы, на которых график функции $y = -3x^2 + 5$ находится выше оси $x$ ($y > 0$) и найти интеграл от функции по этим интервалам. Поскольку $y = 0$ - это ось $x$, то она также является нижней границей.

Для того чтобы найти точки пересечения графика с осью $x$, решим уравнение $y = -3x^2 + 5 = 0$:

$-3x^2 + 5 = 0$

Переносим 5 на правую сторону:

$-3x^2 = -5$

Делим на -3:

$x^2 = \frac{5}{3}$

Извлекаем квадратный корень:

$x = \pm \sqrt{\frac{5}{3}}$

Таким образом, график пересекает ось $x$ в точках $x = \sqrt{\frac{5}{3}}$ и $x = -\sqrt{\frac{5}{3}}$.

Теперь найдем интервалы, на которых $y > 0$. Для этого определим значения $x$, при которых $y = -3x^2 + 5 > 0$. Так как коэффициент перед $x^2$ отрицателен ($-3$), график функции будет направлен вниз и будет находиться выше оси $x$ вне интервала между двумя точками пересечения с осью $x$.

Интервал, на котором $y > 0$, будет следующим:

$-\sqrt{\frac{5}{3}} < x < \sqrt{\frac{5}{3}}$

Теперь, чтобы найти площадь фигуры ограниченной этими линиями, найдем интеграл функции $y = -3x^2 + 5$ на этом интервале:

$\text{Площадь} = \int_{-\sqrt{\frac{5}{3}}}^{\sqrt{\frac{5}{3}}} (-3x^2 + 5) \, dx$

Вычислим этот интеграл:

$\text{Площадь} = \left[-x^3 + 5x \right]_{-\sqrt{\frac{5}{3}}}^{\sqrt{\frac{5}{3}}}$

$\text{Площадь} = -\left(\sqrt{\frac{5}{3}}\right)^3 + 5\sqrt{\frac{5}{3}} - \left(-\sqrt{\frac{5}{3}}\right)^3 + 5\left(-\sqrt{\frac{5}{3}}\right)$

$\text{Площадь} = -\frac{5\sqrt{5}}{3\sqrt{3}} + \frac{5\sqrt{5}}{3\sqrt{3}}$