Question

Показать, что множества X=(1;3) и Y=[-1;2] равномощны, по теореме Кантора-Бернштейна.

Answer 1

Множества A и B называются равномощными, если может быть установлено взаимно однозначное соответствие между элементами множества A и элементами множества B.  
(то есть каждому элементу множества A можно поставить в соответствие один и только один элемент множества B, а каждому элементу множества B можно поставить в соответствие один и только один элемент множества A.)

Покажем, что множества равномощны по теореме Кантора-Бернштейна, т.е. покажем, что найдется  X₁⊆X такое,  что X₁⇒Y, и найдется У₁
Y₁⊆Y такое, что Y₁⇒X .

X₁=(1;3) Y₁=[-1;2]

установим биекцию
f: X₁⇒Y такую что f(x)=x-1, очевидно что f(x)∈Y

установим биекцию 
f: Y₁⇒X такую что f(y)=(3.5+y)/2, очевидно что f(y)∈X

Значит множества равномощны


Теорема Кантора – Бернштейна (первая формулировка).
Если множество A равномощно некоторому подмножеству множества B, а множество B равномощно некоторому подмножеству множества A, то множества A и B равномощны.

Answer 2

Для доказательства равномощности множеств X=(1;3) и Y=[-1;2] используем теорему Кантора-Бернштейна, которая утверждает, что если существуют инъективные (однозначные) функции f: X -> Y и g: Y -> X между двумя множествами X и Y, то они равномощны.

1. Найдем инъективную функцию f: X -> Y. Определим f(x) = (x - 2)/2 для x из (1;3). Заметим, что область значений f находится в интервале [-1;2] (т.к. (1-2)/2 = -0.5 и (3-2)/2 = 0.5), что является подмножеством Y. При этом f(x) не может принимать одинаковые значения для различных x, так как разница между различными значениями x будет отличаться хотя бы на 1, что приведет к различным значениям f(x) из Y. Значит, функция f является инъективной.

2. Найдем инъективную функцию g: Y -> X. Определим g(y) = 2y + 3 для y из [-1;2]. Заметим, что область значений g находится в интервале (1;3), что является подмножеством X. Как и в предыдущем случае, g(y) не может принимать одинаковые значения для различных y из Y, так как разница между различными значениями y будет отличаться хотя бы на 1, что приведет к различным значениям g(y) из X. Значит, функция g также является инъективной.

Таким образом, мы нашли две инъективные функции: f: X -> Y и g: Y -> X, что подтверждает равномощность множеств X и Y по теореме Кантора-Бернштейна.