Question

Сумма 3 и 9 арифметической прогрессии равна 6,а их произведения равны 135/16. Найти первые 15 члены прогрессии.

Answer 1

$\left \{ {{ a_{3}+ a_{9} =6 } \atop { a_{3} * a_{9} = \frac{135}{16} }} \right. \\ \\ \left \{ {{ a_{1} +2d+a_{1} +8d=6} \atop {(a_{1} +2d)(a_{1} +8d)= \frac{135}{16} }} \right. \\ \\ \left \{ {{ a_{1}=3-5d} \atop {(a_{1} +2d)(a_{1} +8d)= \frac{135}{16} }} \right. \\ \\ \left \{ {{ a_{1}=3-5d} \atop {(3-5d+2d)(3-5d+8d)= \frac{135}{16} }} \right. \\ \\ \left \{ {{ a_{1}=3-5d} \atop {(3-3d)(3+3d)= \frac{135}{16} }} \right. \\ \\ \left \{ {{ a_{1}=3-5d} \atop {9-9d^2= \frac{135}{16} }}$
$\left \{ {{ a_{1}=3-5d } \atop {1-d^2= \frac{15}{16} }} \right. \\ \\ \left \{ {{ a_{1}=3-5d } \atop {16d^2=1 }} \right. \\ \\ d=\pm \frac{1}{4} \\ \\ 1)d= \frac{1}{4}=0.25 ; \\ a_{1} =3- \frac{5}{4} = \frac{7}{4} =1.75; \\ a_{15} =1.75+0.25*14=5.25; \\ S_{15} = \frac{1.75+5.25}{2} *15=3.5*15=52.5 \\ \\ 2)d=- \frac{1}{4}=-0.25 ; \\ a_{1} =3+ \frac{5}{4} = \frac{17}{4} =4.25; \\ a_{15} =4.25-0.25*14=0.75; \\ S_{15} = \frac{4.25+0.75}{2} *15=2.5*15=37.5$

Answer 2

Для нахождения первых 15 членов арифметической прогрессии, нам понадобится система уравнений, основанная на условиях задачи.

Пусть первый член арифметической прогрессии равен "а", а разность прогрессии (шаг) равна "d". Тогда первые 15 членов прогрессии будут:

1-й член: а 2-й член: а + d 3-й член: а + 2d 4-й член: а + 3d ... 15-й член: а + 14d

Условия задачи:

1. Сумма 3 и 9 членов прогрессии равна 6: а + а + 2d = 6

2. Произведение 3 и 9 членов прогрессии равно 135/16: (а + 2d) * (а + 5d) = 135/16

Теперь решим систему уравнений:

1. а + а + 2d = 6 2а + 2d = 6 а + d = 3 (Уравнение 1)

2. (а + 2d) * (а + 5d) = 135/16 а^2 + 7ad + 10d^2 = 135/16 (Уравнение 2)

Теперь у нас есть система уравнений (1) и (2), которую мы можем решить. Найдем "а" и "d":

Из уравнения (1): а + d = 3 а = 3 - d

Теперь подставим значение "а" из уравнения (1) в уравнение (2):

(3 - d)^2 + 7(3 - d)d + 10d^2 = 135/16

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

9 - 6d + d^2 + 21d - 7d^2 + 10d^2 = 135/16

Приведем уравнение к квадратичному виду:

9 + 15d + 3d^2 - 135/16 = 0

Переведем всё в общий знаменатель:

(144 + 240d + 48d^2 - 135)/16 = 0

Упростим числитель:

48d^2 + 240d + 9 = 0

Теперь решим квадратное уравнение:

d = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

где a = 48, b = 240 и c = 9.

d = (-240 ± √(240^2 - 4 * 48 * 9)) / 2 * 48 d = (-240 ± √(57600 - 1728)) / 96 d = (-240 ± √55872) / 96

Таким образом, у нас два значения для "d":

d₁ = (-240 + √55872) / 96 d₁ ≈ 2.4

d₂ = (-240 - √55872) / 96 d₂ ≈ -2.9

Так как шаг арифметической прогрессии не может быть отрицательным, выбираем положительное значение d₁ ≈ 2.4.

Теперь найдем "а" с помощью уравнения (1):

а = 3 - d а = 3 - 2.4 а ≈ 0.6

Таким образом, первый член прогрессии "а" ≈ 0.6, а шаг прогрессии "d" ≈ 2.4.

Теперь можем найти первые 15 членов прогрессии:

1-й член: а ≈ 0.6 2-й член: а + d ≈ 0.6 + 2.4 ≈ 3 3-й член: а + 2d ≈ 0.6 + 2 * 2.4 ≈ 5.4 4-й член: а + 3d ≈ 0.6 + 3 * 2.4 ≈ 7.8 5-й член: а + 4d ≈ 0.6 + 4 * 2.4 ≈ 10.2 6-й член: а + 5d ≈ 0.6 + 5 * 2.4 ≈ 12.6 7-й член: а + 6d ≈ 0.6 + 6 * 2.4 ≈ 15 8-й член: а + 7d ≈ 0.6 + 7 * 2.4 ≈ 17.4 9-й член: а + 8d ≈ 0.6 + 8 * 2.4 ≈ 19.8 10-й член: а + 9d ≈ 0.6 + 9 * 2.4 ≈ 22.2 11-й член: а + 10d ≈ 0.6 + 10 * 2.4 ≈ 24.6 12-й член: а + 11d ≈ 0.6 + 11 * 2.4 ≈ 27 13-й член: а + 12d ≈ 0.6 + 12 * 2.4 ≈ 29.4 14-й член: а + 13d ≈ 0.6 + 13 * 2.4 ≈ 31.8 15-й член: а + 14d ≈ 0.6 + 14 * 2.4 ≈ 34.2

Таким образом, первые 15 членов арифметической прогрессии будут приближенно равны:

0.6, 3, 5.4, 7.8, 10.2, 12.6, 15, 17.4, 19.8, 22.2, 24.6, 27, 29.4, 31.8, 34.2.