Question

Пожалуйста!!!! Нужно очень срочно!!!! помогите!срочно! найдите все общие корни уравнений 5cos2x+2cosx-3=0 и sin2x+14cos^2x-8=0

Answer 1

5cos2x + 2cosx - 3 = 0

10cos²x - 5 + 2cosx - 3 = 0

10cos²x + 2cosx - 8 = 0

10cos²x + 10cosx - 8cosx - 8 = 0

10cosx(cosx + 1) - 8(cosx + 1) = 0

(10cosx - 8)(cosx + 1) = 0

cosx + 1 = 0 или 10cosx - 8 = 0

cosx = -1 или cosx = 4/5

x = π + 2πn, n ∈ Z или x = ±arccos(4/5) + 2πn, n ∈ Z

sin2x + 14cos²x - 8 = 0

2sinxcosx + 14cos²x - 8sin²x - 8cos²x = 0

-8sin²x + 2sinxcosx + 6cos²x = 0 |:(-2cos²x)

4tg²x - tgx - 3 = 0

4tg²x - 4tgx + 3tgx - 3 = 0

4tgx(tgx - 1) + 3(tgx - 1) = 0

(4tgx + 3)(tgx - 1) = 0

4tgx + 3 = 0 или tgx - 1 = 0

tgx = -4/3 или tgx = 1

x = -arctg(4/3) + πn, n ∈ Z или x = π/4 + πn, n ∈ Z

Корни x = π + 2πn и π/4 + πn однозначно не совпадают, поэтому рассмотрим корни ±arccos(4/5) + 2πn и -arctg(4/3) + πn, n ∈ Z.

Первый корень лежит в I или в IV четверти, второй корень лежит в IV и II четверти. Тогда будем далее рассматривать только те корни, которые лежат в одной четверти - это -arccos(4/5) + 2πn и -arctg(4/3) + 2πn, n ∈ Z.

Пусть α = arccos(4/5). Тогда cosα = 4/5 (α - угол первой четверти).

По формуле sin²α + cos²α = 1 находим, что sinα = 3/5.

tgα = sinα/cosα = 4/3:(3/5) = 4/3.

Учитывая то, что мы рассматриваем IV четверть, то sinα = -3/5; tgα = -4/3, отсюда делаем вывод, что корни совпадают.

Ответ: -arccos(4/5) + 2πn и -arctg(4/3) + 2πn, n ∈ Z.

Answer 2

Хорошо, давайте найдем общие корни каждого из уравнений.

1. Уравнение: 5cos(2x) + 2cos(x) - 3 = 0

Для этого уравнения предлагаю использовать тригонометрические тождества. Заметим, что:

cos(2x) = 2cos^2(x) - 1

Теперь подставим это в уравнение:

5(2cos^2(x) - 1) + 2cos(x) - 3 = 0

Распределим и приведем подобные слагаемые:

10cos^2(x) + 2cos(x) - 5 - 3 = 0

10cos^2(x) + 2cos(x) - 8 = 0

Теперь это квадратное уравнение относительно cos(x). Решим его с помощью квадратного трехчлена:

cos(x) = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

где a = 10, b = 2 и c = -8.

cos(x) = (-(2) ± √(2^2 - 4 * 10 * -8)) / 2 * 10

cos(x) = (-2 ± √(4 + 320)) / 20

cos(x) = (-2 ± √324) / 20

cos(x) = (-2 ± 18) / 20

Таким образом, получаем два значения для cos(x):

1. cos(x) = (18 - 2) / 20 = 16 / 20 = 0.8

2. cos(x) = (-18 - 2) / 20 = -20 / 20 = -1

Теперь найдем значения x, используя обратную функцию cos^-1:

1. x = cos^-1(0.8) ≈ 36.87° и x ≈ 323.13°

2. x = cos^-1(-1) ≈ 180°

Таким образом, общие корни уравнения 5cos(2x) + 2cos(x) - 3 = 0 это x ≈ 36.87°, x ≈ 180° и x ≈ 323.13°.

2. Уравнение: sin(2x) + 14cos^2(x) - 8 = 0

Используем тригонометрическое тождество:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Подставим это в уравнение:

2sin(x)cos(x) + 14cos^2(x) - 8 = 0

Теперь вынесем общий множитель:

2cos(x)(7cos(x) + 1) - 8 = 0

Теперь имеем квадратное уравнение относительно cos(x). Решим его:

7cos^2(x) + cos(x) - 8 = 0

Уравнение приводится к квадратному:

7cos^2(x) + 8cos(x) - 7cos(x) - 8 = 0

Теперь группируем:

cos(x)(7cos(x) + 8) - 1(7cos(x) + 8) = 0

Теперь вынесем общий множитель:

(7cos(x) + 8)(cos(x) - 1) = 0

Таким образом, получаем два уравнения:

1. 7cos(x) + 8 = 0

2. cos(x) - 1 = 0

3. 7cos(x) + 8 = 0 cos(x) = -8/7

Однако значение -8/7 не входит в область определения функции косинуса (-1 ≤ cos(x) ≤ 1), поэтому это уравнение не имеет корней.

2. cos(x) - 1 = 0 cos(x) = 1

Теперь найдем значения x, используя обратную функцию cos^-1:

x = cos^-1(1) ≈ 0°

Таким образом, общий корень уравнения sin(2x) + 14cos^2(x) - 8 = 0 это x ≈ 0°.

Пожалуйста, обратите внимание, что решения представлены в радианах. Если требуются значения в градусах, просто используйте соответствующие преобразования.