Question

Решите неравенство: 3x^2+7x-20≥0 двумя способами: а) используя свойства графика функции: y=3x^2+7x-20; б) разложив трёхчлен 3x^2+7x-20 на линейные множители и используя условие, при котором полученное произведение положительно.

Answer 1

$3x^2+7x-20\geq 0$

а)

Рассмотрим график функции

$y=3x^2+7x-20$

это парабола, a>0 ⇒ ветви вверх

Нули функции:

$3x^2+7x-20=0\\ D=49+240=289=17^2\\ x=\dfrac{-7 \pm 17}{6} =\left[\begin{array}{I} -4 \\ \dfrac{5}{3} \end{array}}$

значит функция принимает значения ≥0 при

$x \in (- \infty; \ -4] \cup [ \dfrac{5}{3}; \ + \infty)$

Ответ: x∈(-∞; -4]U[5/3; +∞)

б)

$3x^2+7x-20\geq 0\\ 3x^2+12x-5x-20\geq 0\\ 3x(x+4)-5(x+4)\geq 0\\ (3x-5)(x+4)\geq 0$

$\left[\begin{array}{I} \left\{\begin{array}{I} 3x-5\geq 0 \\ x+4\geq 0\end{array}} \\ \left\{\begin{array}{I} 3x-5\leq 0\\ x+4\leq0 \end{array}} \end{array}} \ \Leftrightarrow \ \left[\begin{array}{I} \left\{\begin{array}{I} x\geq \dfrac{5}{3}\\ x\geq -4\end{array}} \\ \left\{\begin{array}{I} x\leq\dfrac{5}{3}\\ x\leq-4 \end{array}} \end{array}} \ \Leftrightarrow \ \left[\begin{array}{I} x \geq\dfrac{5}{3} \\ x\leq -4\end{array}}$

Ответ: x∈(-∞; -4]U[5/3; +∞)

Answer 2

Хорошо, решим данное неравенство двумя способами:

а) Используя свойства графика функции:

Для решения неравенства $3x^2+7x-20 \geq 0$, мы сначала найдем корни уравнения $3x^2+7x-20 = 0$. Затем мы будем анализировать поведение функции $y=3x^2+7x-20$ на отрезках между корнями, чтобы определить, когда $y$ принимает значения больше или равные нулю.

1. Найдем корни уравнения $3x^2+7x-20 = 0$: Для этого, воспользуемся формулой дискриминанта $D$ для квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$:

$D = b^2 - 4ac$

где в нашем случае $a = 3$, $b = 7$ и $c = -20$.

$D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 49 + 240 = 289$

Таким образом, дискриминант $D > 0$, что означает, что уравнение имеет два различных вещественных корня.

Теперь найдем сами корни уравнения при помощи формулы:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 \pm 17}{6}$

Таким образом, корни уравнения $3x^2+7x-20 = 0$ равны $x_1 = -4$ и $x_2 = \frac{5}{3}$.

2. Теперь проанализируем поведение функции $y=3x^2+7x-20$ на отрезках между корнями и за пределами корней.

a) Если $x < -4$, то оба множителя $3x^2$ и $(x + 5)$ отрицательны. Произведение отрицательных чисел положительно, так как умножение двух отрицательных чисел даёт положительный результат.

b) Если $-4 < x < \frac{5}{3}$, то первый множитель $3x^2$ положителен, а второй множитель $(x + 5)$ отрицателен. Произведение положительного и отрицательного чисел отрицательно.

c) Если $x > \frac{5}{3}$, то оба множителя $3x^2$ и $(x + 5)$ положительны. Произведение положительных чисел положительно.

Таким образом, неравенство $3x^2+7x-20 \geq 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -4] \cup \left(\frac{5}{3}, +\infty\right)$.

б) Разложение на линейные множители и использование условия произведения:

Для решения неравенства $3x^2+7x-20 \geq 0$ разложим трехчлен $3x^2+7x-20$ на линейные множители:

$3x^2+7x-20 = (3x - 5)(x + 4)$

Теперь неравенство можно записать как:

$(3x - 5)(x + 4) \geq 0$

Для того чтобы произведение $(3x - 5)(x + 4)$ было неотрицательным, два множителя должны иметь одинаковый знак: или оба должны быть неотрицательными, или оба должны быть отрицательными.

1. Если оба множителя положительны: $3x - 5 > 0$ и $x + 4 > 0$.

   • Решаем первое неравенство: $3x - 5 > 0 \Rightarrow x > \frac{5}{3}$.
   • Решаем второе неравенство: $x + 4 > 0 \Rightarrow x > -4$