Question

Найти число целых решений неравенства log4(x-1) +1 больше или равно log2X

Answer 1

Log₄(x-1) + 1 ≥ log₂x
ОДЗ: x > 1
log₂√(x-1)+log₂2 ≥ log₂x
log₂(2√(x-1)) ≥ log₂x
2√(x-1) ≥ x
4(x-1) ≥ x²
x² - 4x + 4 ≤ 0
(x - 2)² ≤ 0
x = 2

Ответ: одно целое решение

Answer 2

Давайте рассмотрим неравенство и найдем его целые решения:

log₄(x - 1) + 1 ≥ log₂x

Сначала преобразуем логарифмы, используя правила логарифмов:

log₄(x - 1) + 1 ≥ log₂x log₂(x - 1) / log₂4 + 1 ≥ log₂x (log₂(x - 1) + 2) / 2 ≥ log₂x

Теперь уберем дробь, умножив обе стороны на 2:

log₂(x - 1) + 2 ≥ 2 * log₂x log₂(x - 1) + 2 ≥ log₂(x²)

Теперь применим свойство логарифма logₐ(b) = c эквивалентно a^c = b:

x - 1 ≥ 2^(log₂(x²) - 2) x - 1 ≥ 2^(log₂(x² / 2²)) x - 1 ≥ 2^log₂(x² / 4) x - 1 ≥ x² / 4

Теперь приведем всё к общему знаменателю, чтобы убрать дробь:

4x - 4 ≥ x²

Теперь приведем всё в стандартную форму уравнения, чтобы найти корни:

x² - 4x + 4 ≤ 0

Это квадратное неравенство. Чтобы найти его целые решения, мы можем найти вершины параболы и определить интервалы, на которых оно меньше или равно нулю.

Сначала найдем вершину параболы:

Для квадратного уравнения вида ax² + bx + c = 0, координаты вершины равны x = -b / (2a) и y = c - b² / (4a).

В нашем случае a = 1, b = -4, c = 4:

x = -(-4) / (2 * 1) = 4 / 2 = 2 y = 4 - (-4)² / (4 * 1) = 4 - 16 / 4 = 0

Таким образом, вершина параболы находится в точке (2, 0).

Теперь определим, в каких интервалах значение уравнения меньше или равно нулю. Для этого посмотрим на знак перед (x - 2)²:

• Если (x - 2)² > 0, то значение уравнения положительное.
• Если (x - 2)² = 0, то значение уравнения равно нулю.
• Если (x - 2)² < 0, то значение уравнения отрицательное.

Поскольку у нас коэффициент при x² равен 1 (положительное значение), у параболы ветви вверх, и она открывается вверх. Вершина находится в точке (2, 0), и значение функции будет равно нулю только в этой точке. Вне этой точки значение функции всегда положительное.

Таким образом, уравнение x² - 4x + 4 ≤ 0 имеет ровно один целочисленный корень, который равен x = 2.

Ответ: Неравенство имеет одно целое решение: x = 2.