Question

Разложите, если возможно, на линейные множители многочлен: а) x^2–4x–21=0; б) 5x^2+13x+8=0; в) –4x^2+7x–3=0; г) 10x^2+9x–63=0; д) a^2+a–20=0; е) 7b^2–3b+1=0; ж) a^2–ab+6b^2=0; з) x^2+ax–30a^2=0; и) 3y^2–2by–5b^2=0; к) x^2–2xz–z^2=0; л) 2с^2+cd+4d^2=0; м) x^3–12x^2+20x=0.

Answer 1

а) $(x+3)(x-7)=0$

б) $(x+1)(5x+8)=0$

в) $-(x-1)(4x-3)=0$

г) $(x+3)(10x-21)=0$

д) $(a-4)(a+5)=0$

е) нельзя

ж) нельзя

з) $-(5a-x)(6a+x)=0$

и) $-(5b-3y)(b+y)=0$

к) $(x-z+\sqrt{2}z)(x-z-\sqrt{2}z)=0$

л) нельзя, нужны доп. ограничения

м) $x(x-2)(x-10)=0$

Answer 2

Давайте разложим каждый из данных многочленов на линейные множители:

а) x^2 – 4x – 21 = 0

Для начала, попробуем разложить многочлен с помощью факторизации:

x^2 – 4x – 21 = (x – 7)(x + 3)

б) 5x^2 + 13x + 8 = 0

Мы можем разложить его, найдя два числа, сумма и произведение которых равны соответственно коэффициентам при x^1 и x^0:

5x^2 + 13x + 8 = (x + 8)(5x + 1)

в) –4x^2 + 7x – 3 = 0

–4x^2 + 7x – 3 = –(4x^2 – 7x + 3) = –(4x^2 – 4x – 3x + 3) = –((4x – 3)(x – 1))

г) 10x^2 + 9x – 63 = 0

Для этого многочлена также применим факторизацию:

10x^2 + 9x – 63 = (2x – 7)(5x + 9)

д) a^2 + a – 20 = 0

a^2 + a – 20 = (a + 5)(a – 4)

е) 7b^2 – 3b + 1 = 0

Этот многочлен нельзя разложить на линейные множители, так как дискриминант отрицателен (D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 471 = 9 - 28 = -19), а значит, у него нет вещественных корней.

ж) a^2 – ab + 6b^2 = 0

a^2 – ab + 6b^2 = (a – 2b)(a – 3b)

з) x^2 + ax – 30a^2 = 0

x^2 + ax – 30a^2 = (x + 6a)(x – 5a)

и) 3y^2 – 2by – 5b^2 = 0

3y^2 – 2by – 5b^2 = (y – 5b)(3y + b)

к) x^2 – 2xz – z^2 = 0

x^2 – 2xz – z^2 = (x – z)(x + z)

л) 2с^2 + cd + 4d^2 = 0

2с^2 + cd + 4d^2 = (c + 2d)(2c + d)

м) x^3 – 12x^2 + 20x = 0

В этом случае можно вынести общий множитель x:

x(x^2 – 12x + 20) = x(x – 2)(x – 10)

Таким образом, все заданные многочлены были разложены на линейные множители или выяснено, что это невозможно в случае с некоторыми из них.