Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:3cos^2a - tgactgaРешение, естественно, пишем)

Answer 1

$\tt 3\cos^2\alpha -tg\alpha \cdot ctg\alpha =3\cos^2\alpha -1$

Выражение $3\cos^2\alpha$ принимает свои значений [0;3]. Оценивая в виде двойного неравенства, получим:

$\tt 0\leq 3\cos^2\alpha \leq 3~~|-1\\ \\ -1\leq 3\cos^2\alpha -1\leq 2$

Наибольшее значение выражения равно 2, а наименьшее: -1.

Answer 2

3cos²α-tgαctgα=3cos²α-1=3cos²α-(cos²α+sin²α)=2cos²α-sin²α

-1≤cosα≤1 0≤cos²α≤1 0≤2cos²α≤2

-1≤sinα≤1 0≤sin²α≤1 -1≤-sin²α≤0

-1≤2cos²α-sin²α≤2

наименьшее значение -1 наибольшее значение 2

Answer 3

Давайте рассмотрим выражение и найдем его наибольшее и наименьшее значения. Первое, что нам понадобится, это знание о диапазонах значений тригонометрических функций:

1. cos^2(a) - квадрат косинуса угла a. Значение этого выражения всегда находится в диапазоне [0, 1], так как косинус угла всегда лежит между -1 и 1, а его квадрат не может быть больше единицы.

2. tg(a) - тангенс угла a. Тангенс не имеет верхнего или нижнего ограничений на своё значение.

Теперь найдем наибольшее и наименьшее значения исходного выражения:

Выражение: 3cos^2(a) - tg(a)

Наименьшее значение: Наименьшее значение возможно, когда cos^2(a) максимально (равно 1), а tg(a) минимально (тангенс максимально убывает на интервалах π/2 + πk, где k - целое число). Таким образом, при a = (π/2 + 2πk), где k - целое число, получим наименьшее значение выражения: 3cos^2(a) - tg(a) = 3*1 - tg(π/2) = 3 - несуществующее значение (тангенс не определен на π/2).

Наибольшее значение: Наибольшее значение возможно, когда cos^2(a) минимально (равно 0), а tg(a) максимально (тангенс растет до бесконечности при a = π/2 + πk). Таким образом, при a = (π/2 + (2πk + π)), где k - целое число, получим наибольшее значение выражения: 3cos^2(a) - tg(a) = 3*0 - tg(π/2 + π) = -tg(3π/2).

Таким образом, наибольшее значение: -tg(3π/2), а наименьшее значение отсутствует, так как оно не существует (не определено).

Можно заметить, что выражение tg(3π/2) равно бесконечности, так как тангенс имеет вертикальные асимптоты вида (π/2 + πk), где k - целое число.