Question

Решить систему неравенств |x^2+5x|<6 |x+1|≤1

Answer 1

$\left\{\begin{array}{I} |x^2+5x|$

Решаем неравенства

$1)\\ |x^2+5x|$

Найдем нули подмодульного выражения

$x^2+5x=0\\ x(x+5)=0\\ x=0 \ \ \ \ \ x=-5$

Решаем неравенство на интервалах

$1.1) \ x \in (-\infty; \ -5] \cup [ 0; \ + \infty)\\ x^2+5x$

С учетом интервала

$x \in (-6; \ -5] \cup [0; \ 1)$

$1.2) \ x \in (-5; \ 0)\\ x^2+5x>-6\\ x^2+5x+6>0\\ x^2+2x+3x+6>0\\ x(x+2)+3(x+2)>0\\ (x+2)(x+3)>0\\ x \in (- \infty; \ -3) \cup (-2; \ + \infty)$

С учетом интервала

$x \in (-5; \ -3) \cup (-2; \ 0)$

С неравенства имеем

$x \in (-6; \ -3) \cup (-2; \ 1)$

$2)\\ |x+1|\leq 1$

Найдем нуль подмодульного выражения

$x+1=0\\ x=-1$

Решаем неравенство на интервалах

$2.1) \ x \in (- \infty; \ -1)\\ x+1\geq -1\\ x\geq -2$

С учетом интервала

$x \in [-2; \ -1)$

$2.2) \ x \in [-1; \ + \infty)\\ x+1\leq 1\\ x\leq 0$

С учетом интервала

$x \in [-1; \ 0]$

С неравенства имеем

$x \in [-2; \ 0]$

С системы имеем

$x \in (-2; \ 0]$

Ответ: x∈(-2; 0]

Answer 2

Решение во вложении.

Answer 3

Для решения данной системы неравенств нужно разбить систему на две части и решить каждую неравенство отдельно:

1. Неравенство |x^2 + 5x| < 6: Начнем с определения условий, при которых выражение внутри модуля будет положительным и отрицательным: a) x^2 + 5x > 0: Здесь можно вынести x за скобку и получим: x(x + 5) > 0. Получаем два интервала, где выражение внутри модуля положительно:

   1. x < 0
   2. x + 5 > 0 ⇒ x > -5

   б) x^2 + 5x < 0: В данном случае нужно решить неравенство x(x + 5) < 0. Здесь возможны два интервала, где выражение внутри модуля отрицательно:

   3. x > 0
   4. x + 5 < 0 ⇒ x < -5

   Теперь объединим интервалы, где выражение внутри модуля положительно и отрицательно:

   1. x < -5
   2. 0 < x < -5

2. Неравенство |x + 1| ≤ 1: В данном случае, выражение внутри модуля должно находиться в интервале [-1, 1]. Таким образом, получаем: -1 ≤ x + 1 ≤ 1

   Теперь решим неравенство: -1 - 1 ≤ x ≤ 1 - 1 -2 ≤ x ≤ 0

Таким образом, решение системы неравенств состоит из объединения интервалов, где выполняются оба неравенства:

-2 ≤ x ≤ 0 0 < x < -5

Ответ: -2 ≤ x ≤ 0 и 0 < x < -5.