Question

Решить уравнение sin⁴x+cos⁴x=cos²2x

Answer 1

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 2

sin⁴x+cos⁴x=cos²2x+¼  

(sin²x-cos²x)²+2sin²x•cos²x=cos²2x+¼  

cos²2x+2sin²x•cos²x=cos²2x+¼  

½•sin²2x=¼  

sin²2x=½  

sin2x=±1/√2  

2x=π/4+(π/2)•n  

x=π/8+(π/4)•n, n∊Z.

Answer 3

Для решения данного уравнения сначала заметим, что у нас есть квадраты синуса и косинуса, а также косинус двойного угла. Мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами, чтобы переписать косинус двойного угла через квадраты синуса и косинуса.

Тригонометрическое тождество для косинуса двойного угла: cos(2x) = 2*cos^2(x) - 1

Теперь подставим это тождество в исходное уравнение:

sin^4(x) + cos^4(x) = cos^2(2x)

sin^4(x) + cos^4(x) = (2*cos^2(x) - 1)^2

sin^4(x) + cos^4(x) = 4cos^4(x) - 4cos^2(x) + 1

Теперь приведем все слагаемые в уравнении в одной степени:

sin^4(x) + cos^4(x) - 4cos^4(x) + 4cos^2(x) - 1 = 0

Теперь объединим квадраты:

(sin^2(x) - cos^2(x))^2 + 4*cos^2(x) - 1 = 0

Мы видим, что у нас возникло выражение (sin^2(x) - cos^2(x))^2, которое также может быть переписано с использованием тригонометрического тождества:

sin^2(x) - cos^2(x) = -cos(2x)

Теперь подставим это в уравнение:

(-cos(2x))^2 + 4*cos^2(x) - 1 = 0

cos^2(2x) + 4*cos^2(x) - 1 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos(x). Решим его:

Пусть t = cos(x), тогда уравнение примет вид:

t^2 + 4t - 1 = 0

Решим квадратное уравнение с помощью квадратного корня:

t = (-4 ± √(4^2 - 41(-1))) / 2*1

t = (-4 ± √(16 + 4)) / 2

t = (-4 ± √20) / 2

Таким образом, получаем два значения t:

t₁ = (-4 + √20) / 2 ≈ -0.316

t₂ = (-4 - √20) / 2 ≈ -3.684

Но мы знаем, что косинус не может быть больше 1 или меньше -1, поэтому второй корень не подходит.

Теперь найдем значение синуса:

sin(x) = √(1 - cos^2(x))

sin(x) = √(1 - t₁^2)

sin(x) = √(1 - (-0.316)^2)

sin(x) = √(1 - 0.099056) ≈ √0.900944 ≈ 0.949

Таким образом, решение уравнения:

cos(x) ≈ -0.316 sin(x) ≈ 0.949

Обратите внимание, что уравнение может иметь более одного решения в заданном интервале. Это решение относится к интервалу 0 ≤ x < 2π.