Question

ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ АЛГЕБРУ 10 КЛАСС ДАМ 10 БАЛЛОВ И 5 ЗВЕЗД 1)sin⁴x+cos⁴x=cos²2x+0,25 2)3cos2x-cos²2x=0

Answer 1

1)1-2cos^2xsin^2x=cos^2(2x)+1/4

1/2sin^2(2x)+cos^2(2x)-3/4=0

cos^22x=1/2

cos2x=sqrt(2)/2

x=+-П/8+Пk

cos2x=-sqrt(2)/2

x=+-3/8П+Пk

Answer 2

Конечно, я помогу решить данные алгебраические уравнения.

1. sin⁴x + cos⁴x = cos²2x + 0.25

Для удобства, заменим cos²2x на (1 - sin²2x) с использованием тригонометрической тождества cos²θ = 1 - sin²θ:

sin⁴x + (1 - sin²2x) = cos²2x + 0.25

Теперь заменим sin²2x на (2sinxcosx) с использованием формулы двойного угла sin²θ = 2sinθcosθ:

sin⁴x + (1 - 2sinx*cosx) = cos²2x + 0.25

Далее, заменим cos²2x на (1 - sin²2x) снова:

sin⁴x + (1 - 2sinx*cosx) = 1 - sin²2x + 0.25

Теперь заменим sin²2x на (2sinx*cosx) снова:

sin⁴x + (1 - 2sinxcosx) = 1 - 2sinxcosx + 0.25

Теперь объединим слагаемые:

sin⁴x - 2sinx*cosx + 0.75 = 0

Теперь у нас есть уравнение вида a sin²x + b sinx + c = 0, где a = 1, b = -2cosx, c = 0.75.

Для решения этого уравнения, мы можем использовать формулу дискриминанта.

Дискриминант D = b² - 4ac

D = (-2cosx)² - 4 * 1 * 0.75

D = 4cos²x - 3

Теперь найдем значения sinx, для которых D = 0:

4cos²x - 3 = 0

4cos²x = 3

cos²x = 3/4

cosx = ±√(3/4)

cosx = ±√3/2

Так как 0 ≤ x ≤ 2π, то рассмотрим два случая:

а) cosx = √3/2

Тогда x = π/6 или x = 11π/6.

б) cosx = -√3/2

Тогда x = 5π/6 или x = 7π/6.

Таким образом, уравнение имеет четыре решения: x = π/6, x = 11π/6, x = 5π/6 и x = 7π/6.

2. 3cos2x - cos²2x = 0

Заменим cos²2x на (1 - sin²2x) с использованием тригонометрической тождества cos²θ = 1 - sin²θ:

3cos2x - (1 - sin²2x) = 0

Теперь заменим sin²2x на (2sinxcosx) с использованием формулы двойного угла sin²θ = 2sinθcosθ:

3cos2x - 1 + 2sinx*cosx = 0

Теперь у нас есть уравнение с двумя неизвестными cosx и sinx. Однако, мы можем заметить, что у нас есть еще одно уравнение, которое связывает cosx и sinx:

cos²x + sin²x = 1

Мы можем решить систему уравнений, состоящую из уравнения 3cos2x - 1 + 2sinx*cosx = 0 и уравнения cos²x + sin²x = 1.

Из уравнения cos²x + sin²x = 1, мы знаем, что:

cos²x = 1 - sin²x

Теперь заменим cos²x в первом уравнении:

3(1 - sin²x) - 1 + 2sinx*cosx = 0

Раскроем скобки:

3 - 3sin²x - 1 + 2sinx*cosx = 0

Перенесем все слагаемые на одну сторону:

-3sin²x + 2sinx*cosx + 2 = 0

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной sinx. Решим его:

sinx = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

где a = -3, b = 2cosx, c = 2.

sinx = ( -2cosx ± √((2cosx)² - 4*(-3)2) ) / (2(-3))

sinx = ( -2cosx ± √(4cos²x + 24) ) / (-6)

sinx = ( cosx ± √(cos²x + 6) ) / 3

Таким образом, уравнение имеет два решения:

1. sinx = (cosx + √(cos²x + 6)) / 3
2. sinx = (cosx - √(cos²x + 6)) / 3

Решения этой системы уравнений можно найти, подставив значения sinx в уравнение cos²x + sin²x = 1, чтобы определить cosx. После этого, можно получить значения углов x.