Question

A) √2sin2x+4cos²(3π/8+x)=2+√2 B) Корни, принадлежащие отрезку [π;5π/2] С подробным решением, пожалуйста)

Answer 1

Формула

2cos²α=1+cos2α

4cos²((3π/8)+x)) = 2·(1+cos((3π/4)+2x))=2 + 2·cos((3π/4)+2x)

Формула косинуса суммы двух углов

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

2cos((3π/4)+2x)=2cos(3π/4)*cos2x -2sin(3π/4)*sin2x=

[cos(3π/4)= - √2/2;  sin(3π/4)=√2/2]

=-√2cos2x-√2sin2x

Уравнение принимает вид:

√2sin2x+2 -√2cos2x-√2sin2x=2+√2;

cos2x= - 1

2x=(π)+2πn, n∈Z

x=(π/2)+πn, n∈Z

О т в е т. А)(π/2)+πn, n∈Z

Б)

x=(3π/2)

x=(5π/2)

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое уравнение по отдельности.

A) Решим уравнение √2sin^2x + 4cos^2(3π/8 + x) = 2 + √2:

1. Перепишем 4cos^2(3π/8 + x) в терминах sin(x) с использованием тригонометрических тождеств: 4cos^2(3π/8 + x) = 4(1 - sin^2(3π/8 + x)) = 4(1 - sin^2(3π/8)cos^2(x) - cos^2(3π/8)sin^2(x)) = 4(1 - (1/2)cos^2(x) - (1/2)sin^2(x)) = 4(1 - (1/2)(cos^2(x) + sin^2(x))) = 4(1 - 1/2) = 2

2. Подставим этот результат в исходное уравнение: √2sin^2x + 2 = 2 + √2

3. Теперь выразим sin^2(x): √2sin^2x = √2

4. Теперь выразим sin(x): sin^2x = 1

5. Решим уравнение для sin(x): sin(x) = ±√1 = ±1

Таким образом, имеем два случая:

a) sin(x) = 1: На отрезке [0, 2π] существует только одно решение, и это x = π/2.

b) sin(x) = -1: На отрезке [0, 2π] существует только одно решение, и это x = 3π/2.

B) Теперь рассмотрим уравнение с указанным отрезком [π, 5π/2]:

Мы должны решить уравнение sin(x) = 0 на указанном отрезке.

1. Уравнение sin(x) = 0 имеет корни, когда sin(x) равен нулю.
2. sin(x) = 0 при x = π, 2π, 3π и т.д.

Таким образом, корни уравнения, принадлежащие отрезку [π, 5π/2], это x = π и x = 3π.

Итак, решения уравнений:

A) x = π/2 и x = 3π/2.

B) x = π и x = 3π.