Question

Числа m и n целые. Какова четность числа mn(m+n)??

Answer 1

Если оба числа чётные, то очевидно, что их произведение и сумма будут так ке выражаться чётными числами.

Если оба числа нечётные, то mn - нечётное число, а (m + n) - чётное, т.к. при сложении двух нечётных чисел будет чётное число.

Если одно число чётное, а другое - нечётное, то произведение mn будет являться чётным, а значит, и произведение mn(m + n) будет являться чётным числом.

Ответ: получится чётное число.

Answer 2

Давайте рассмотрим все возможные варианты четности чисел m и n:

1. Если оба числа m и n четные:

   • Пусть m = 2a, где "a" - целое число.
   • Пусть n = 2b, где "b" - целое число.

   Тогда mn = (2a) * (2b) = 4ab, а (m + n) = (2a) + (2b) = 2(a + b). Теперь рассмотрим выражение mn(m + n) = 4ab * 2(a + b) = 8ab(a + b).

   Поскольку оба множителя 8 и (a + b) четные числа, произведение также будет четным числом.

2. Если оба числа m и n нечетные:

   • Пусть m = 2a + 1, где "a" - целое число.
   • Пусть n = 2b + 1, где "b" - целое число.

   Тогда mn = (2a + 1) * (2b + 1) = 4ab + 2a + 2b + 1, а (m + n) = (2a + 1) + (2b + 1) = 2(a + b) + 2. Теперь рассмотрим выражение mn(m + n) = (4ab + 2a + 2b + 1) * (2(a + b) + 2).

   Здесь оба множителя (4ab + 2a + 2b + 1) и (2(a + b) + 2) нечетные числа (для простоты можно представить, что a + b - это другое целое число "c"). Умножение нечетных чисел даст нечетное число.

3. Если одно из чисел m и n четное, а другое нечетное: Пусть, без ограничения общности, m - четное число, а n - нечетное число.

   В этом случае m = 2a, где "a" - целое число, и n = 2b + 1, где "b" - целое число.

   Тогда mn = (2a) * (2b + 1) = 4ab + 2a, а (m + n) = (2a) + (2b + 1) = 2(a + b) + 1.

   Теперь рассмотрим выражение mn(m + n) = (4ab + 2a) * (2(a + b) + 1).

   Здесь один из множителей (4ab + 2a) четный, а другой (2(a + b) + 1) нечетный. Умножение четного числа на нечетное дает четное число.

Итак, мы видим, что во всех возможных вариантах результат mn(m + n) будет четным числом.