Question

Разложить на множители выражение: a^3 + 1 + 3a (a+1) Спасибо!

Answer 1

a^3 + 1 + 3a(a+1) = a^3 + 3a^2 + 3a + 1 = (a + 1)^3

Answer 2

=(а+1)(а^2-а+1)+3а(а+1)=(а+1)(а^2-а+1+3а)=(а+1)(а^2+2а+1)=(а+1)(а+1)^2=(а+1)^3

Answer 3

Для разложения выражения $a^3 + 1 + 3a(a+1)$ на множители, давайте сначала его преобразуем:

$a^3 + 1 + 3a(a+1)$

Теперь раскроем скобки во втором слагаемом:

$a^3 + 1 + 3a^2 + 3a$

Теперь можно объединить первые два слагаемых:

$(a^3 + 1) + 3a^2 + 3a$

Теперь в первых двух слагаемых у нас есть сумма куба $a^3$ и единицы $1$, которая является особой суммой кубов, подчиняющейся формуле $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. Применим эту формулу к первым двум слагаемым:

$(a^3 + 1) = (a + 1)(a^2 - a + 1)$

Теперь получаем:

$(a + 1)(a^2 - a + 1) + 3a^2 + 3a$

Для оставшихся двух слагаемых возможно объединение похожих терминов. Вынесем $3a$ за скобки:

$(a + 1)(a^2 - a + 1) + 3a(a + 1)$

Теперь заметим, что оба слагаемых содержат общий множитель $(a + 1)$. Выносим его за скобки:

$(a + 1)(a^2 - a + 1 + 3a)$

Теперь выполняем операции в скобках:

$(a + 1)(a^2 + 2a + 1)$

Теперь, $a^2 + 2a + 1$ - это квадратное выражение, которое можно далее разложить:

$a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2$

Теперь окончательно разложим выражение:

$(a + 1)(a + 1)^2$

Таким образом, выражение $a^3 + 1 + 3a(a+1)$ разлагается на множители как $(a + 1)(a + 1)^2$.