Question

Используя метод интервалов, найдите промежутки знакопостоянства функции

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Метод интервалов позволяет найти промежутки знакопостоянства функции на заданном интервале. Для этого необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдите все точки, в которых функция обращается в ноль или не существует (точки разрыва).
2. Разбейте интервалы между найденными точками разрыва на подынтервалы.
3. Определите знак функции на каждом подынтервале.
4. Запишите промежутки знакопостоянства.

Пример:

Дана функция f(x) = x^3 - 2x^2 - 11x + 12.

Шаг 1: Найдем точки разрыва, в которых функция обращается в ноль или не существует. Для этого решим уравнение f(x) = 0:

x^3 - 2x^2 - 11x + 12 = 0

Можно заметить, что x = 1 - это корень уравнения (f(1) = 0). Теперь разделим исходный интервал на подынтервалы:

(-∞, 1) и (1, +∞)

Шаг 2: Определим знак функции на каждом подынтервале:

1. Для интервала (-∞, 1): Выберем произвольную точку из интервала, например, x = 0, и вычислим значение функции: f(0) = 0^3 - 2 * 0^2 - 11 * 0 + 12 = 12 Так как f(0) > 0, то знак функции на этом интервале положителен.

2. Для интервала (1, +∞): Выберем произвольную точку из интервала, например, x = 2, и вычислим значение функции: f(2) = 2^3 - 2 * 2^2 - 11 * 2 + 12 = 0 Так как f(2) = 0, то знак функции на этом интервале нулевой.

Шаг 3: Запишем промежутки знакопостоянства:

• Функция f(x) положительна на интервале (-∞, 1).
• Функция f(x) равна нулю на интервале (1, +∞).

Таким образом, промежутки знакопостоянства функции f(x) = x^3 - 2x^2 - 11x + 12 следующие:

1. Функция положительна на интервале (-∞, 1).
2. Функция равна нулю на интервале (1, +∞).