Question

Найдите площадь фигуры y=x^2+1 y=5

Answer 1

y=x²+1     y=5    S=?

x²+1=5

x²=4

x₁=-2          x₂=2               ⇒

S=₋₂∫²(5-(x²+1)dx=₋₂∫²(5-x²-1)dx=₋₂∫²(4-x²)dx=(4x-x³/3) ₋₂|²=4*2-2³/3-(4*(-2)-(-2)³/3=

=8-8/3+8-8/3=16-16/3=32/3=10²/₃≈10,67.

Ответ: S≈10,67 кв.ед.

Answer 2

Для того чтобы найти площадь между кривыми y = x^2 + 1 и y = 5 на заданном интервале, нужно сначала определить точки пересечения этих двух кривых. Затем можно вычислить интеграл разности между ними на этом интервале, чтобы получить площадь.

1. Найдем точки пересечения: Приравняем уравнения кривых друг к другу: x^2 + 1 = 5

Теперь выразим x: x^2 = 5 - 1 x^2 = 4 x = ±√4 x = ±2

Таким образом, кривые пересекаются в точках (-2, 5) и (2, 5).

2. Теперь вычислим площадь между кривыми на интервале [-2, 2].

Площадь = ∫[a, b] (верхняя функция - нижняя функция) dx

Где a и b - это координаты точек пересечения, а верхняя функция - это y = 5 (кривая выше), а нижняя функция - это y = x^2 + 1.

Площадь = ∫[-2, 2] (5 - (x^2 + 1)) dx

Теперь возьмем интеграл:

∫(5 - (x^2 + 1)) dx = ∫(4 - x^2) dx = 4x - (x^3 / 3) + C

Теперь вычислим значение выражения в пределах от -2 до 2:

Площадь = (4 * 2 - (2^3 / 3)) - (4 * (-2) - ((-2)^3 / 3)) = (8 - 8/3) - (-8 + 8/3) = (24/3 - 8/3) + (24/3 + 8/3) = 16/3 + 32/3 = 48/3 = 16

Таким образом, площадь фигуры между кривыми y = x^2 + 1 и y = 5 на интервале [-2, 2] равна 16 квадратным единицам.