Question

Решите методом интервала неравенство (х+2)(х²+х-12)>0

Answer 1

(x+2)(x²+x-12)>0

x²+x-12 = 0

D = 1+48 = 49 = 7²

x(1) = (-1+7) / 2 = 3

x(2) = (-1-7) / 2 = -4

(x+2)(x+4)(x-3)>0

-       +       -       +

-----o-----o-----o------>x

    -4     -2     3

x∈(-4; -2)U(3; +∞)

Answer 2

Для решения данного неравенства методом интервалов, мы сначала найдем его корни, а затем определим знак выражения (x+2)(x²+x-12) в каждом интервале, чтобы определить, в каких интервалах выполняется неравенство.

1. Найдем корни уравнения (x+2)(x²+x-12) = 0:

(x + 2)(x² + x - 12) = 0

Сначала разложим квадратное уравнение в произведение двух линейных:

x² + x - 12 = (x + 4)(x - 3)

Теперь уравнение принимает вид:

(x + 2)(x + 4)(x - 3) = 0

Таким образом, корни уравнения:

x + 2 = 0 => x = -2 x + 4 = 0 => x = -4 x - 3 = 0 => x = 3

2. Построим таблицу знаков:

Интервалы | (x + 2) | (x + 4) | (x - 3) | (x + 2)(x + 4)(x - 3)

Copy code
x < -4        |    -     |    -     |    -     |        -

---

-4 < x < -2 | - | - | + | +

-2 < x < 3 | + | + | + | +

Copy code
x > 3         |    +     |    +     |    +     |        +

3. Определим интервалы, где неравенство выполняется:

(x + 2)(x² + x - 12) > 0

Так как выражение имеет положительное значение только на интервалах, где (x + 2)(x + 4)(x - 3) > 0, то:

1. Интервал (-4 < x < -2): В этом интервале неравенство выполняется, так как (x + 2)(x + 4)(x - 3) > 0.
2. Интервал (x > 3): В этом интервале неравенство также выполняется, так как (x + 2)(x + 4)(x - 3) > 0.

Итак, решением данного неравенства является объединение интервалов:

x ∈ (-4, -2) ∪ (3, +∞)