Question

Как выяснить является ли функция ограниченнлй сверху или снизу

Answer 1

Во-первых, если функция имеет неустранимый разрыв 2 рода, то она не ограничена.

Например, дроби при знаменателе, равном 0, или логарифм при числе меньше 0.

Если таких разрывов нет, тогда второй шаг.

Нужно проверить её пределы на +oo и - oo.

Если lim(x->-oo) y(x) = a (какому-то числу), то функция y(x) ограничена снизу.

Если lim(x->+oo) y(x) = a, то функция ограничена сверху.

Если оба предела равны oo, тогда смотрим на знаки.

Если lim(x->-oo) y(x) = lim(x->+oo) y(x) = +oo, то функция ограничена снизу.

Например, парабола y=ax^2+bx+c при а > 0.

Если наоборот, оба предела равны -oo, то функция ограничена сверху.

Например, та же парабола при а < 0.

В обоих случаях парабола ограничена в своей вершине.

И, наконец, если разрывов нет и пределы равны oo с разными знаками, то функция не ограничена.

Answer 2

Для определения, является ли функция ограниченной сверху или снизу на заданном интервале или во всей области определения, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область определения функции: Убедитесь, что функция определена на интервале или области, которую вы хотите исследовать. Например, если функция определена на всей числовой прямой, то рассматриваемая область - это вся числовая прямая.

2. Проверка на ограниченность сверху:

   • Для функции, определенной на интервале (a, b): Проверьте значения функции на этом интервале и найдите наибольшее значение. Если существует константа M такая, что f(x) ≤ M для всех x из интервала (a, b), то функция ограничена сверху на этом интервале.
   • Для функции, определенной на всей числовой прямой: Аналогично, проверьте значения функции на всей числовой прямой и найдите наибольшее значение. Если такая константа M существует, что f(x) ≤ M для всех x на всей числовой прямой, то функция ограничена сверху.

3. Проверка на ограниченность снизу:

   • Для функции, определенной на интервале (a, b): Проверьте значения функции на этом интервале и найдите наименьшее значение. Если существует константа m такая, что f(x) ≥ m для всех x из интервала (a, b), то функция ограничена снизу на этом интервале.
   • Для функции, определенной на всей числовой прямой: Аналогично, проверьте значения функции на всей числовой прямой и найдите наименьшее значение. Если такая константа m существует, что f(x) ≥ m для всех x на всей числовой прямой, то функция ограничена снизу.

Если функция ограничена сверху и снизу на заданном интервале или на всей области определения, то она называется ограниченной. Если функция ограничена только сверху или только снизу, она называется ограниченной сверху или ограниченной снизу, соответственно.