Question

Докажите, что уравнение 2х^8-3х^5+х^4-2х+1=0не имеет отрицательных корней (если обьясните дам лучший ответ :3)

Answer 1

Предположим, что отрицательные корни есть. Посмотрим, что будет, если подставить какое-нибудь отрицательное число. Когда мы возводим в чётную степень, минус пропадает, получается положительное число. Когда мы возводим в нечётную степень, минус сохраняется, но в этом уравнении нечётные степени умножаются на отрицательные числа. Минус * минус = плюс. То есть у нас получается сумма положительных чисел, а она никак не может быть нулём. Значит, предположение неверное. Отрицательных корней нет.

Answer 2

Для доказательства того, что уравнение 2x^8 - 3x^5 + x^4 - 2x + 1 = 0 не имеет отрицательных корней, мы можем воспользоваться методом анализа знаков многочлена.

1. Анализ знаков коэффициентов: У нас есть многочлен с коэффициентами 2, -3, 1, -2 и 1. Все коэффициенты положительны или равны нулю, за исключением -3. Это означает, что многочлен может иметь только один отрицательный корень или не иметь его вовсе.

2. Анализ знаков при различных значениях x: Рассмотрим значения x в разных интервалах и определим знак многочлена.

• Когда x < 0, рассмотрим значения многочлена: Подставим x = -1: 2*(-1)^8 - 3*(-1)^5 + (-1)^4 - 2*(-1) + 1 = 2 + 3 + 1 + 2 + 1 = 9 > 0 Подставим x = -2: 2*(-2)^8 - 3*(-2)^5 + (-2)^4 - 2*(-2) + 1 = 512 + 96 + 16 + 4 + 1 = 629 > 0

Мы видим, что при отрицательных значениях x, многочлен принимает положительные значения.

3. Ноль многочлена: Посмотрим, что происходит при x = 0: 20^8 - 30^5 + 0^4 - 2*0 + 1 = 1 > 0

4. Поведение при положительных значениях x: Посмотрим, как многочлен ведет себя при положительных значениях x: При x = 1: 21^8 - 31^5 + 1^4 - 21 + 1 = 2 - 3 + 1 - 2 + 1 = -1 < 0 При x = 2: 22^8 - 32^5 + 2^4 - 22 + 1 = 512 - 192 + 16 - 4 + 1 = 333 > 0

Мы видим, что при положительных значениях x, многочлен меняет знак, и при этом принимает и положительные, и отрицательные значения.

Итак, из анализа знаков многочлена мы можем сделать вывод, что уравнение 2x^8 - 3x^5 + x^4 - 2x + 1 = 0 не имеет отрицательных корней, так как многочлен всегда принимает положительные значения при отрицательных значениях x и имеет корни среди положительных значений x.