Question

ДАЮ 50 БАЛЛОВ для функции у=(х-8)^-1 найти обратную функцию; указать Д(у) и Е(у) прямой и обратной функции.

Answer 1

у=1/(х-8)

ух-8у=1

ух=8у+1

х=(8у+1)/у

х=8+1/у

х=1/у+8

у=1/х+8 - обратная функция

Answer 2

Чтобы найти обратную функцию для уравнения у = (х - 8)^-1, следует выполнить шаги обратной подстановки.

Шаг 1: Заменить у на х и х на у в уравнении у = (х - 8)^-1: х = (у - 8)^-1

Шаг 2: Решить полученное уравнение относительно у: 1/х = у - 8

Шаг 3: Выразить у: у = 1/х + 8

Таким образом, обратная функция равна y = 1/x + 8.

Далее, найдем производные прямой и обратной функций.

Для прямой функции у = (х - 8)^-1: Д(у)/Д(х) = d/dx ((x - 8)^-1)

Чтобы вычислить производную этой функции, воспользуемся правилом дифференцирования степенной функции:

d/dx (u^n) = n * u^(n-1) * du/dx, где u - функция от x.

В данном случае n = -1 и u = (x - 8), а производная u по x равна 1.

Д(у)/Д(х) = -1 * (x - 8)^(-1 - 1) * 1 Д(у)/Д(х) = -(x - 8)^-2

Для обратной функции y = 1/x + 8: Д(y)/Д(x) = d/dx (1/x + 8)

Теперь применим правила дифференцирования сложной функции:

d/dx (u + v) = du/dx + dv/dx

В данном случае u = 1/x (производная du/dx = -1/x^2) и v = 8 (производная dv/dx = 0, так как это константа).

Д(y)/Д(x) = -1/x^2 + 0 Д(y)/Д(x) = -1/x^2

Таким образом, производная прямой функции (y = (x - 8)^-1) равна -(x - 8)^-2, а производная обратной функции (y = 1/x + 8) равна -1/x^2.

Также, найдем Е(у) для прямой и обратной функций:

Е(у) прямой функции у = (х - 8)^-1: Е(у) = (8 - 8)^-1 = 0^-1 = Undefined (Неопределенное значение)

Е(у) обратной функции y = 1/x + 8: Е(у) = 1/0 + 8 = Undefined (Неопределенное значение)

Обратите внимание, что у обратной функции есть вертикальная асимптота в точке х = 0, что приводит к неопределенному значению Е(у) для обеих функций.